线性相关与无关是统计学和数学中的基本概念，它们涉及到变量之间是否存在某种关系以及这种关系的性质。
线性相关
线性相关指的是两个或多个变量之间存在一种线，即一个变量的值随着另一个变量的值变化而变化。这种关系可以用数学表达式来描述，通常表示为一个变量（自变量）的线性函数加上一个常数项。
定义
如果有两个变量 ( x ) 和 ( y )，并且它们的相关系数 ( r ) 满足：
[ r = frac{Cov(x, y)}{sigma_x sigma_y} ]
其中 ( Cov(x, y) ) 是 ( x ) 和 ( y ) 的协方差，(sigma_x) 和 ( sigma_y ) 分别是 ( x ) 和 ( y ) 的标准差，那么称 ( x ) 和 ( y ) 是线性相关的。
例子
假设我们有一个数据集 ( (x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n) )，其中 ( x_i ) 和 ( y_i ) 是连续的随机变量。如果我们计算 ( x_1 ) 和 ( y_1 ) 的相关系数，发现它接近于零，那么我们可以认为 ( x_1 ) 和 ( y_1 ) 是线性无关的。
线性无关
线性无关指的是两个或多个变量之间不存在线，也就是说，一个变量的值不会随着另一个变量的值的变化而变化。
定义
如果两个变量 ( x ) 和 ( y ) 不满足线性相关的定义，即：
[ r = 0 ]
那么称 ( x ) 和 ( y ) 是线性无关的。
例子
假设我们有两个变量 ( x ) 和 ( y )，且 ( x ) 和 ( y ) 都是正态分布的随机变量。如果这两个变量的协方差为零，那么它们就是线性无关的。
线性相关与无关是描述变量之间关系的两个基本概念。理解这些概念对于统计分析、机器学习、数据挖掘等领域都非常重要。通过计算相关系数和标准差，我们可以判断变量之间的线性相关性；而通过检查相关系数是否为零，我们可以判断变量之间的线性无关性。
