当我们从自然数开始扩展数域，逐步涵盖了整数、有理数、代数数等领域时，逐渐发现了现有的数学体系并非万能。比如π这样的圆周率就无法用代数数来表示。面对这样的挑战，数学家们开始寻找新的思路来扩展数域。戴德金在1872年提出的戴德金原理，便是众多解决方案中的一种。我们还会探讨柯西列的构造方法。
戴德金原理主要是基于有理数的有序性，即任意两个有理数都可以比较大小。该原理将有理数按照从小到大的顺序排列，然后通过某种切分方式，将它们分为两个集合。这个切分点的位置，就确定了一个新的数值。
具体来说，假设我们将有理数集Q分为S和T两个子集。如果这两个子集满足特定条件，那么我们称这种分割为戴德金分割。这种分割方式在有理数域上有着重要的应用。
以例2.5.1.1为例，我们可以清晰地看到戴德金分割的应用。而对于任意两个不相等的有理数，我们可以证明必然存在一个有理数介于二者之间，这是有理数的稠密性。
对于有理数集的任意戴德金分割，会出现三种情况：S中有最大值而T中无最小值、S中无最大值而T中有最小值、S和T中均无最大值和最小值。根据戴德金分割的性质，我们不能同时存在S中有最大值和T中也有最小值的情况，因为这会导致逻辑上的矛盾。
对于第一种和第二种情况，我们可以说该分割确定了一个有理数。而对于第三种情况，我们则认为该分割确定了一个无理数。所有的有理数和无理数统称为实数，实数集记作R。
每个实数x都可以由有理数集的戴德金分割来确定。根据戴德金分割的定义，只要确定了S，Q便随之确定。判断一个数值是否为实数，可以通过判断是否能列出以该数值为临界值的戴德金分割中的S来实现。应满足的条件包括S必须包含小于某值的所有有理数但不包含该值本身等。按照戴德金原理构造的实数，任意两个实数都可以比较大小。我们也容易得到任意两个不相等的实数之间必然存在一个有理数和一个无理数介于二者之间。两个实数之间的所有实数构成的集合称为区间。区间可以用符号如开区间、闭区间等来表述。[1]提及的戴德金是德国著名的数学家和教育家，[年他提出了关于算术的完整系统]。
