[高等数学] 向量范数的全面解析
目录
一、向量范数概述
二、向量范数的定义及常见分类
三、范数的性质与比较
四、程序示例
正文
一、向量范数概述
向量范数是衡量向量“大小”的一种数学工具，广泛应用于机器学习、数值分析、优化等领域。它满足非负性、齐次性、三角不等式三个基本性质。
二、向量范数的定义及常见分类
1. 向量范数的定义：对于向量X，其范数||X||是一个实数，满足以下条件：
（1）非负性：||X||≥0，且当X=0向量时，||X||=0。
（2）齐次性：对于任意标量k，||kX||=|k|||X||。
（3）三角不等式：||X+Y||≤||X||+||Y||。
常见的向量范数分类如下：
（1）L_p范数（闵可夫斯基范数）：包括L_1范数（曼哈顿范数）、L_2范数（欧几里得范数）、L_∞范数（切比雪夫范数）等。这些范数在各自的应用领域有着广泛的应用。
（2）加权范数：考虑不同维度的重要性，如机器学习中的特征加权。
（3）其他范数：如L_{p,q}范数、核范数等。
三、范数的性质与比较
1. 范数等价性：在有限维空间中，所有范数都是等价的。这意味着不同范数之间可以相互转换，且存在常数c1, c2 > 0使得c1||X||A ≤ ||X||B ≤ c2||X||A。
2. 几何意义：不同范数对应不同的几何形状，如L_1范数对应菱形，L_2范数对应圆形，L_∞范数对应正方形等。
3. 凸性：所有L_p范数（p≥1）都是凸函数，适用于凸优化问题。
四、程序示例
以下是使用MATLAB计算向量范数的示例程序：
matlab
