极值的定义与性质解析
一、极值的定义
1. 极大值：函数f（x）在点x0附近有定义，若对于x0附近的任意点x，都有f（x）＜f（x0），则称f（x0）为函数的一个极大值。极大值点记作x0。
2. 极小值：同样地，函数f（x）在点x0附近，若对于所有接近x0的点x，都有f（x）＞f（x0），则称f（x0）为函数的极小值。极小值点也是x0。
二、极值的性质
1. 极值是局部概念：极值仅表示某个点与其邻近点的函数值比较，而非在整个定义域内的最大或最小值。
2. 函数可以有多个极值点，即在一个区间内或整个定义域内，极大值和极小值的数量不限。
3. 极大值和极小值之间不存在大小关系固定，即一个函数的极大值不一定大于其极小值。
4. 极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点。而函数在区间端点取得的最大或最小值可能是整体的最大或最小值。
三、求函数f（x）的极值步骤
1. 确定函数的定义区间，并求导数f′（x）。
2. 寻找方程f′（x）=0的根。
3. 使用导数为0的点将函数定义区间分割成小开区间，并检查f′（x）在方程根左右两侧的符号。根据符号变化判断极大值或极小值。
四、对函数极值概念的理解要点
1. 极值点x0是区间[a,b]内部的点，不会是端点a或b（因为端点处不可导）。
2. 极值是局部概念，只在小区域内成立。注意极值必须在区间内的连续点上取得。
3. 若函数f（x）在(a,b)内有极值，则它不是单调函数。反之，单调函数没有极值。
4. 若函数f（x）在[a,b]上有极值且连续，其极值点的分布有规律，相邻的极大值点间有极小值点，反之亦然。
5. 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。不可导的点也可能是极值点。
五、函数最值与导数的关系
在闭区间[a,b]上的连续函数f（x）必有最大值和最小值。利用导数求函数最值的步骤包括：
1. 求f（x）在（a,b）内的极值。
2. 比较f（x）的各极值与f（a）、f（b）以得出在[a,b]上的最大和最小值。
六、生活中的优化问题与导数应用
生活中遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题，通常可以通过求函数最值来解决。使用导数方法解决这类问题应注意以下几点：
1. 考虑实际问题的意义，不符合实际情况的值应舍去。
2. 在实际问题中，若函数只有一个使f′（x）=0的点，且在此有极值，则此即为最值。
3. 确定函数中自变量的定义区间，并建立恰当的数学模型（如函数关系、方程或不等式）。主要转化为求最值问题，再反馈到实际中。如果函数在开区间上只有一个极值点，那么这个极值点就是该函数的最值点。
