矩阵行列式，也称为determinate（简称det），是一个基于矩阵行列数据计算得出的标量。它是为了解决线性方程组而引入的。
对于二阶行列式，我们采用对角线法则进行计算。对于三阶行列式，同样适用对角线法则。而对于n阶行列式，我们需要计算排列的逆序数。
在行列式的表示方法中，我们有三种主要方式。行列式还具有一些重要的性质。
性质1：行列式与其转置行列式相等。在行列式中，行与列具有同等地位。任何对行成立的性质，对列也同样成立。
性质2：互换行列式的两行（列）会导致行列式变号。如果行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式为零。
性质3：如果行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个倍数k，那么结果等于用数k乘以这个行列式。这一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：如果行列式中有两行（列）的元素成比例，那么这个行列式为零。
性质5：如果行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，那么它等于对应的两个行列式之和。
性质6：如果将行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行）的对应元素上，行列式的值不会改变。
计算行列式的方法包括利用定义和性质把行列式化为上三角形行列式。通过这种方式，我们可以方便地计算出行列式的值。
关于线性方程组的定理，我们可以得出以下结论：
定理1：如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解，而且解是唯一的。这意味着，如果系数行列式不为零，我们可以使用公式来求解线性方程组。
定理2：如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式必定为零。这个定理为我们提供了判断线性方程组解的存在性和唯一性的依据。
对于齐次线性方程组，我们有以下定理：如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，那么该方程组只有零解，没有非零解。反之，如果有非零解，那么系数行列式必定为零。
克拉默法则是我们解线性方程组的一个有效工具。它要求方程个数等于未知量个数，并且系数行列式不等于零。克拉默法则的意义在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系，它主要适用于理论推导。
在行列式的展开中，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。我们的主要关注点是如何用低阶行列式来表示高阶行列式。
