一、哈密顿原理概述
力学系统的运动规律可以通过最小作用量原理（哈密顿原理）进行表述。根据这一原理，每个力学系统都可以由一个确定的函数来描述，我们称之为拉格朗日函数。系统的运动还需要满足以下条件。
假设在某一时刻，系统的位置由两组坐标确定。那么系统在这两个位置之间的运动使得积分取最小值。这个积分被称为作用量。假设拉格朗日函数中只包含坐标和速度，而不涉及更高阶的导数。这反映了系统的力学状态完全由坐标和速度所决定的事实。
二、变分法与最小作用量原理的解
我们通过求解使积分取最小值的问题来推导运动微分方程。假设系统仅有一个自由度，那么只需要确定一个函数即可。设这个函数为使得积分取最小值的函数。如果任意改变这个函数，那么积分值都会增大。其中，改变的函数被称为函数的变分。我们从整个时间间隔内考虑这个问题，假设这种改变是一个小量。根据最小作用量原理，我们可以得到以下方程，也就是我们要推导的运动微分方程，在力学中称为拉格朗日方程。如果给定系统的拉格朗日函数已知，那么方程描述了加速度、速度和坐标之间的关系。从数学的角度看，这个方程是一个包含未知函数的二阶微分方程组。为了确定这些未知函数，我们需要知道描述系统在某一时刻状态的初始条件。
三、系统的独立性分析
假设力学系统由两部分组成，且每部分都是封闭的。在两个部分相距足够远的情况下，它们的相互作用可以忽略不计。系统的拉格朗日函数是两个部分拉格朗日函数的和。这反映了每个独立部分的运动方程不会包含其他部分相关的物理量的事实。
四、系统的唯一性分析
将力学系统的拉格朗日函数乘以一个任意常数并不会改变运动微分方程。这似乎导致了某种不确定性。可加性消除了这种不确定性，意味着所有力学系统的拉格朗日函数都可以乘以同一个任意常数。这个问题与物理量的度量单位的自然任意性有关，将在后续继续讨论。现在我们需要进行更深入的一般性讨论。考虑两个拉格朗日函数，它们之间的差异是关于时间和坐标的某个函数的导数。计算这两个拉格朗日函数对应的积分后，我们发现它们的关系是等价的全等关系，因此它们的运动微分方程也是相同的。这说明拉格朗日函数的定义可以看作是一个对时间和坐标的特定函数的导数之差的形式上的一种表述方式，这个性质可以通过微分方程的解来理解。
