一、曲面的参数化与切空间
在三维空间中，我们可以通过两个参数来描绘一个参数曲面。假设曲面S由函数r(u,v)的参数化形式给出，其中u和v是参数坐标。曲面上每一点的单位法向量可以平移到以原点为心的单位球面上。
1. 第一基本形式的推导
我们的目标是定义一个仅依赖于参数化的曲面度量，用来描述弧长、角度和面积。
步骤1：计算切向量的内积。
步骤2：关联弧长与第一基本形式。微分弧长ds满足第一基本形式的矩阵表示，它有着明确的几何意义。
2. 第二基本形式的推导
目标是描述曲面在空间中的弯曲程度，这依赖于曲面的嵌入方式（即法向量的变化）。
步骤1：考虑参数化的二阶导数。二阶导数的向量可以分解为切向分量和法向分量。
步骤2：定义第二基本形式的系数通过法向投影。二阶导数在法向量n上的投影提供了几何解释，其中L、M、N反映了曲面在u和v方向的弯曲速率。
步骤3：得出第二基本形式的表达式。
3. 曲线夹角方程
二、高斯曲率
1. 基本工具介绍。
2. 高斯曲率的经典定义。高斯曲率最初是通过第二基本形式给出的公式来定义的，这个公式直观地反映了曲面的局部弯曲特性，但其推导需要结合曲面的嵌入空间信息。
3. 推导步骤：
步骤1：计算法曲率。
步骤2：引入主曲率与高斯曲率的概念。
步骤3：证明高斯绝妙定理。这个定理证明高斯曲率仅由第一基本形式及其导数决定。其中涉及到Christoffel符号的计算、黎曼曲率张量的定义等。
4. 高斯曲率的绝妙之处：
内蕴性：高斯曲率仅由曲面的度量（第一基本形式）决定，与嵌入空间无关。某些曲面，如圆柱面与平面，虽然局部等距，但高斯曲率相同。
计算奇迹：在黎曼曲率张量的计算过程中，第二基本形式的影响被完全消除，揭示了微分几何的深层对称性。几何学：这一发现表明，曲面的弯曲可以通过其内蕴几何描述，无需外部参照空间，为黎曼几何的发展奠定了基础。 5. 实例验证：以球面为例，第一基本形式定义了曲面的“尺子”，而第二基本形式则是“弯曲探测器”。高斯绝妙定理的数学美妙之处在于它揭示了曲面曲率可以完全由其内蕴几何描述，无需参考其嵌入空间。 性质与关系： 第一基本形式与第二基本形式在数学表达、依赖关系、物理意义以及与曲率的关系方面各有特点。 三、小结 1. 曲面的弯曲完全由自身的度量决定，与嵌入空间无关，这是微分几何的核心理念之一。 2. 法曲率与测地曲率是描述曲面弯曲的两种重要方式。它们之间的关系以及与曲面参数化的联系是微分几何研究的重要内容。
