今天我们将学习立体几何中非常重要的一个概念——二面角，它是用来度量两个相交平面之间的“程度”。我们也会回顾一下求空间角的传统方法的思路。
知识点一：二面角及其平面角
想象一下一本打开的书，两个封面（可以看作是半平面）在书脊（即棱）处相交。这个由两个半平面形成的角度就称为二面角。书脊是二面角的棱，两个封面则是二面角的两个面。为了度量这个二面角的“”大小，我们需要找到一个代表性的角，即二面角的平面角。
二面角的平面角的作法通常基于三垂线法：
1. 在二面角的棱意选择一点。
2. 在两个半平面内，从这一点出发分别作垂直于棱的射线。
3. 这两条射线的夹角就是二面角的平面角。
生活中的应用例子可以是：打开的书本，书脊是棱。在书脊上选择一点，分别在两个封面上画垂直于书脊的线段，这两条线形成的角度就是书本当前的开合角度。
知识点二：二面角的求法一 – 定义法
定义法就是严格按照平面角的定义来找到角并计算。具体步骤包括：找到棱，在棱上选点，作垂线，连接形成三角形，然后在三角形中计算。难点在于如何巧妙地作出这两条垂直于棱的线，并计算它们的长度以及它们端点间的距离。
知识点三：二面角的求法二 – 三垂线定理及其逆定理
三垂线定理是作二面角平面角或证明线线垂直的有力工具。它描述了平面内一条直线、平面的一条斜线及其射影之间的垂直关系。这个定理及其逆定理在求解二面角的过程中有广泛应用。
知识点四：二面角的求法三 – 垂面法
垂面法是一种找二面角平面角的直接方法。它找到一个平面，让这个平面同时垂直于二面角的棱。这个平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角就是二面角的平面角。
知识点五：空间角的计算总结（传统方法）
求空间角的方法可以总结为以下几点：异面直线所成角可以通过平移转化为相交直线所成角；直线与平面所成角要找射影构成直角三角形；对于二面角，核心在于作（或找）平面角。最终的计算大多离不开解三角形，因此熟练掌握勾股定理、余弦定理和三角函数定义是基础。找到合适的辅助线和辅助平面是关键步骤。空间向量法提供更统一、代数化的计算途径。
练习题：
1. 在二面角的棱上取一点，分别从两个半平面作射线。判断这些射线所形成的角是否是二面角的平面角，并说明理由。
2. 在正方体中求二面角的平面角的余弦值。
3. 应用三垂线定理证明某线段垂直于另一线段。
4. 思考如何找到垂直于正方体棱的平面。
求直线与平面所成角主要用到sin函数；求二面角主要用到余弦定理。希望大家通过学习和练习能够熟练掌握这些方法，更好地理解和求解空间角的问题。
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