本文约2500字，建议阅读时间为大约五分钟。本文将介绍特殊矩阵的概念，以便在听到诸如“正定矩阵所有特征值都为正”之类的语句时，读者不会感到陌生。
在线性代数中，存在一些具有易于分析和操作特性的特殊矩阵。这些矩阵可能具有特定的特征值，或者它们的特征向量之间具有某种特殊关系。这些特性使得操作变得更加简便，而幸运的是，存在方法可以将一个矩阵分解为这些“更简单”的矩阵。
降低操作复杂度提高了可扩展性。即使这些矩阵是特殊的，它们也绝对不是罕见的。在机器学习和许多其他应用中，我们经常处理这些特殊矩阵。本文旨在让读者对这些特殊矩阵有所理解，不会在听到相关概念时感到困惑。
一、对角矩阵
对角矩阵S的非对角元素全部为零。许多矩阵分解方法都能使其中一个分解矩阵成为对角矩阵。由于矩阵仅包含对角元素，因此有时我们也可以用向量来表示它。找到一个对角矩阵的逆矩阵很容易，只需将对角元素替换为1/m。如果其中一个矩阵是对角矩阵，则矩阵乘简单得多。当任何对角元素为零或对角矩阵不是方阵时，其逆矩阵不存在。伪逆（将0的逆保持为0）可以在一些方法中作为替代使用。
二、正交矩阵
正交矩阵Q是一个满足特定条件的方阵。Q的所有列(v₁, …, vᵢ ,…)都是正交归一化的，即vᵢᵀvⱼ =0 (i≠j)，而且vᵢ都是单位向量。这对于一些矩阵来说是一个严格的要求，但在分解期间我们可以选择特征向量为正交归一向量。正交矩阵的逆矩阵非常容易计算，即正交矩阵的逆矩阵是它的转置。这是正交矩阵非常实用的一个关键原因。关系AAᵀ=I简化了许多计算，如投影。对称矩阵是线性代数和机器学习中最重要的矩阵之一。在机器学习中，我们经常使用矩阵来保存f(vᵢ , vⱼ)这样的函数。这样的函数通常是对称的，即f(x, y) = f(y, x)，因此相应的矩阵是对称的。对称矩阵具有如下性质：它的逆矩阵也是对称的；所有特征值都是实数；即使有重复的特征值，我们也可以选择合适的特征向量为正交归一向量；如果A的列线性无关，则AᵀA可逆等。每个对称矩阵S都可以用由S的正交归一特征向量vᵢ组成的Q和包含所有特征值的对角矩阵进行对角化（分解）。这种分解特性和“S有n个正交特征向量”是对称矩阵的两个重要属性。谱定理指出：每个nn对称矩阵S都有n个实特征值ᵢ以及n个正交归一特征向量vᵢ等。正定矩阵是所有特征值都为正的矩阵。如果一个矩阵是可逆的，那么它的行列式不为零。由于行列式等于所有特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式是正数。验证所有特征值都是正数需要很多工作，因此通常会使用其他测试方法来判断一个矩阵是否是正定的。除了正定矩阵之外，还有正半定矩阵、负定矩阵和负半定矩阵等概念。正半定矩阵将上述所有的“>”条件替换为“≥”。例如，它的特征值大于或等于零等。在机器学习中，协方差矩阵用于建模属性之间的相关性。它是一个重要的特殊矩阵类型，尤其在处理数据集时非常重要。本文介绍了特殊矩阵的一些基本概念和性质，以便读者在听到相关概念时能够理解并应用它们在实际问题中。这些特殊矩阵在线性代数和机器学习等领域中扮演着重要的角色，对于理解和应用这些概念将有助于更好地理解和解决相关问题。
