2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（样题）
一、选择题
1.（理科数学）已知集合U = {-2, -1, 0, 1, 2}，集合A和B的并集为U，集合A和B的交集为{1}，则下列符合条件的一个集合A为（）
A. {-2, 0, 1} B. {-2, 1} C. {1} D. {-2, 2}
答案：A。根据题意，集合A和B的并集为U，交集为{1}，则集合A至少包含元素1。又由于选项中只有A满足此条件，所以选A。本题考察集合运算中的并集和交集的概念和性质。考察难度容易。
解答详解：由题意可知集合A和B的并集为U，则集合A和B中都包含的元素共同组成U中的元素。同时已知交集为{1}，说明集合A中必须有元素1，选项中只有选项A包含元素1且其他元素也满足题意，故选择A。其他选项不符合题意。本题主要考察集合运算中的并集和交集的概念和性质。难度容易。 答案解析：本题主要考察集合运算中的并集和交集的概念和性质。根据题意分析得出符合条件的集合A必须包含元素1，并且其他元素也需满足题意条件。选项中只有选项A符合题意条件，所以答案是A。
二、填空题
8.（向量相关）已知向量a与向量b的数量积为5，向量a的模长为3，向量b的模长为√（a^b – a∙b）个单位向量在垂直的条件下表示的角的余弦值为什么？同时向量点乘的结果与两向量垂直的关系是什么？假设两个单位向量在垂直的条件下表示的两个向量的夹角为，则cos等于什么？假设两向量垂直时它们的点乘结果是什么？假设向量a与向量b垂直时它们的点乘结果是什么？答案：已知向量a与向量b的数量积为5，向量a的模长为3，根据向量数量积的定义，有cos = 向量a与向量b的数量积 / (向量a的模长 向量b的模长)，因为题目中已经知道向量的数量积和模长，所以可以直接计算cos的值。又因为两个单位向量垂直时它们的夹角为/2，所以cos等于零。两向量垂直时它们的点乘结果为0。当向量a与向量b垂直时，它们的点乘结果也为零。这是因为两个垂直的向量的点乘结果是它们各自的长度与其对应余弦值的乘积，而当两向量垂直时，它们之间的夹角是/2度或90度，此时余弦值为零，所以点乘结果为零。本题主要考察向量的数量积和向量的垂直性质等知识点。考察难度中等。
答案解析：本题考察了向量的数量积定义、向量的垂直性质以及单位向量的性质等知识点。首先根据已知条件计算cos的值，然后根据两个单位向量垂直时cos等于零的性质得出答案。接着阐述了当两向量垂直时它们的点乘结果为0的原因是因为它们之间的夹角是/2度或90度时余弦值为零。最后强调了向量的数量积与向量的垂直性质之间的关系。考察难度中等。 题干分析：题干描述了关于向量的知识点包括向量的数量积定义、向量的垂直性质以及单位向量的性质等。题目提供了已知的向量数量积和模长等条件要求解答相关的数学关系表达式等问题。需要通过已知条件进行推导和分析得出答案并进行解释说明考察的知识点以及考察难度等具体内容并明确指出对应的数学模型和相关原理应用等知识内容的考察和分析及表述表述简洁准确有效解决问题和突出相关考查内容的侧重点及相关难度掌握度等基本需求的同时遵循准确的表达方式以方便理解和掌握知识和学习迁移灵活运用数学概念和技能来解决问题的方法能力等问题。【补充题目】数学综合应用题（解题过程中需要使用相关数学知识、数学定理或公式） 问题描述：已知一个圆的半径为r，圆心在原点O上，求圆上的任意一点P到圆心O的最短距离是多少？如何求出该最短距离？（可以通过示例图形加以解释） 答案解析：已知一个圆的半径为r，圆心在原点O上，圆上的任意一点P到圆心O的最短距离即为该圆的半径r。可以通过在圆取一点P，连接OP（即圆心O与点P之间的连线），由于OP是半径，所以其长度即为最短距离r。可以通过示例图形展示这一过程，以更直观地理解最短距离的含义和求解方法。本题主要考察了圆的定义和性质等知识点。考察难度容易。 数学模型/原理：本题涉及圆的定义和性质等知识点。圆的定义中包括圆心、半径