广义相对论是物理学中十分高级且复杂的领域，深入理解的基石是深厚的数学背景。涉及的几何学非常复杂，需要掌握大量的数学知识和技巧。
“弯曲时空（Curved Spaime）”这一概念，对于习惯了一维和二维空间的人来说，可能会感到困惑。因为“曲率”和“弯曲性”在一维和二维空间中是非常基本、直观的概念。对于拥有视觉的生物来说，弯曲和直线是识别边界的关键概念。在现代社会，对于钟、球、裙子和泡泡这类物体的弯曲几何形状，每个四岁以上的孩子都能直观理解。
当数学家关注这些日常概念时，他们尝试将这些概念扩展到我们所熟悉的范围之外。数学是一门研究规律和抽象概念之间关系的科学。当数学家对我们认为理所当然的概念进行深入提炼和抽象，再尽可能地拓展它们时，最终得到的结果可能会与我们原先的理解大相径庭，显得非常陌生和不同。
当我们听到“曲率”这个词时，我们期望它与我们已经熟悉的、可以直观感受到的东西有关。当我们尝试将这个概念应用到更高维度的空间中时，我们的直观感受就会失效。因为在高维空间中，我们无法直接在心里想象出四维或更高维度空间的曲率。
在数学语言中，“弯曲”通常指的是与“平坦”相对的状态。而在几何学中，“平坦几何”有特定的含义，指的是遵循欧几里得体系的几何学。也就是说，在一个平坦的几何空间中，平行线永远不会相交，两条线段的最短距离是一条直线等等。数学家在说一个几何空间是“平坦的”时候，他们的意思是这个空间遵循欧几里得几何的规则。
历史上，数学家们对几何学的理解和发展非常有趣且富有成果，尤其是在19世纪。那时，数学家开始探索欧几里得几何学以外的几何体系，如非欧几里得几何学。进入21世纪，现代几何学仍然是一个充满活力的研究领域。数学家们不断提出新的猜想，探索更加抽象的几何概念。
当我们想要理解二维曲面（如球面或圆柱面）的曲率时，一种直观的方式是观察这个曲面是如何从一个平面（二维空间）弯曲进入第三维度空间的。也就是说，我们要考虑曲面在垂直于原始平面方向上的弯曲程度。例如，球面的曲率在各个点都是相同的，因为无论从哪个方向看，它都以相同的方式弯曲。
在更高维度的流形中，想象曲率的方式是放弃直观的“弯曲性”概念。我们根本无法想象三维空间的弯曲意味着什么，或者四维时空的弯曲意味着什么。我们必须转向更强大、更抽象的概念。相反，我们可以考虑那些偏离或不符合欧几里得几何的几何结构，这样可以提供更大的灵活性和有效性。在现代微分几何学中，这种偏离欧几里得几何的性质可以通过两个数学工具来量化：张量——黎曼曲率张量和扭曲张量。
我们可以利用平行移动的概念来简化问题。根据伪黎曼几何的基本定理，我们可以通过选择消除扭曲的定义来唯一地定义平行移动，从而使曲率张量（黎曼张量）成为描述几何空间偏离欧几里得的唯一和完整的工具。黎曼张量可以量化空间偏离欧几里得几何的程度。
因此曲率张量可以被看作是一个衡量空间弯曲程度的量化工具。如果一个空间的曲率张量处处为零那么这个空间就是平坦的与欧几里得空间建立等距映射即一个保持距离不变的映射在这种情况下曲率张量就成了一个存在等距映射的障碍它阻碍了空间与欧几里得空间之间的完美对应在弯曲空间中无在平坦空间中那样自由进行积分和微分操作起源二维曲面几何曲率张量的概念背后有一个有趣的历史它始于二维曲面的曲率在二维曲面上的任意给定点首先找到单位法向量然后构造一个与曲面垂直相交的平面在这个平面上绘制一个与曲面相切的圆即圆在接触点的曲率半径与曲面在该点的曲率半径相同这就是密切圆的概念通过密切圆的概念我们了解到了曲率张量的历史沿革及其在现代几何学中的意义和应用等等。” 广义相对论中的许多概念都源于此并与之紧密相连为深入理解广义相对论提供了数学和几何基础。