一、数系的核心特性简述
封闭性：某一数系对于特定运算的兼容性，例如自然数对于加法和乘法的封闭。
稠密性：任意两个实数之间都存在无数个实数，比如1和2之间有1.5、√2、/2等。
二、核心数系的详细解析与对比
1. 自然数（Natural Numbers）
定义：用于计数的整数，包括0和所有正整数。
符号：ℕ = {0, 1, 2, 3, …}
性质：对加法和乘法具有封闭性。
实例：苹果数量、楼层编号。
2. 整数（Integers）
定义：包括正整数、零和负整数的集合。
符号：ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
性质：对加、减和乘法具有封闭性，但不包括除法。
实例：温度零下5℃（-5），账户欠款（负整数）。
3. 有理数（Rational Numbers）
定义：可以表示为两个整数之比的数，分母不为零。
性质：有限小数或无限循环小数。对四则运算具有封闭性（除数为零除外）。
实例：分数3/4等于0.75，循环小数1/3等于0.333…。
4. 无理数（Irrational Numbers）
定义：不能表示为整数比的实数。
性质：无限不循环小数。与有理数一起构成实数。
经典证明：通过反证明√2是无理数。
实例：几何常数√2（正方形对角线比），圆周率等。
5. 实数（Real Numbers）
定义：有理数和无理数的总称。
符号：ℝ
性质：与数轴上的点一一对应，具有完备性。
重要定理：戴德金分割定理。
6. 虚数（Imaginary Numbers）
定义：平方为负数的数，用于解决无实根的问题。
符号：虚数单位 i = √(-1)
性质：i^2 = -1，i^3 = -i，i^4 = 1（循环周期4）。
实例：√(-4) = 2i，3i是纯虚数。
7. 复数（Complex Numbers）
定义：实数与虚数的组合。
形式：z = a + bi（a,b∈ℝ）
几何意义：复平面上的点。
运算规则：加法和乘法规则。
应用：电路分析、量子力学、信号处理等领域。
三、数系核心性质的对比表
数系 是否稠密 是否完备 对加减乘除是否封闭 典型例子
