要快速判断一个四边形是不是矩形，可以运用以下几种基本的几何定理：
1. 对角线相等的平行四边形是矩形：
– 若四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，则该四边形为矩形。
– 证明：由于AB=CD且BC=DA，根据三角形的两边之和大于第三边的性质，有AB+CD>BC，同理可得AD+CD>BC，因此AB=AD且BC=DA。
2. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形：
– 若四边形ABCD中，AB⊥CD且BC⊥DA，则该四边形为矩形。
– 证明：因为AB⊥CD且BC⊥DA，所以∠ACB=90。又因为AB=CD且BC=DA，根据直角三角形的性质，有AB+BC=CD，即AB+BC=CD。
3. 有一个角是直角的平行四边形是矩形：
– 若四边形ABCD中，∠BAC=90，则该四边形为矩形。
– 证明：因为∠BAC=90，所以△ABC是直角三角形。由勾股定理可知，AB+AC=BC，即AB+AC=BC。
4. 有一个角是直角且对角线互相平分的平行四边形是矩形：
– 若四边形ABCD中，∠BAC=90且AB=CD，则该四边形为矩形。
– 证明：因为∠BAC=90且AB=CD，所以△ABC是直角三角形。由勾股定理可知，AB+AC=BC，即AB+AC=BC。
5. 有一个角是直角且对角线互相垂直的平行四边形是矩形：
– 若四边形ABCD中，∠BAC=90且AB⊥CD，则该四边形为矩形。
– 证明：因为∠BAC=90且AB⊥CD，所以△ABC是直角三角形。由勾股定理可知，AB+BC=AC，即AB+BC=AC。
通过以上五个判定定理，我们可以快速判断一个四边形是否为矩形。在实际应用中，可以根据具体情况选择使用其中一个或多个定理进行判断。
