扇环面积公式是计算圆环中扇形区域大小的一个数学工具。它特别适用于那些由两个同心圆构成的扇形，其中一个圆的半径为$r_1$，另一个圆的半径为$r_2$。
定义和基本概念
– 扇环：由两个同心圆组成的图形，其中外圆的半径为$r_1$，内圆的半径为$r_2$。
– 扇形：扇环中从外圆到内圆的部分，其半径为$r_2 – r_1$。
扇环面积公式
扇环面积可以通过以下公式计算：
$$ A = frac{1}{2} (r_1^2 + r_2^2) – frac{1}{2} r_1 (r_2 – r_1) $$
这个公式是基于扇形的面积计算公式 $A_{text{sector}} = frac{1}{2} r_1 (r_2 – r_1)$ 推导而来的。
推导过程
1. 外圆的面积：
外圆的半径为$r_1$，因此其面积为 $A_{text{outer}} = pi r_1^2$。
2. 内圆的面积：
内圆的半径为$r_2 – r_1$，因此其面积为 $A_{text{inner}} = pi (r_2 – r_1)^2$。
3. 扇形的面积：
扇形的面积是从外圆到内圆的线段长度乘以半径差的一半。由于扇形的半径差为$r_2 – r_1$，所以扇形的面积为 $A_{text{sector}} = frac{1}{2} (r_1^2 + r_2^2)$。
4. 总的扇环面积：
将上述三个面积相加得到总的扇环面积：
$$ A = A_{text{outer}} + A_{text{inner}} + A_{text{sector}} $$
$$ A = pi r_1^2 + pi (r_2 – r_1)^2 + frac{1}{2} (r_1^2 + r_2^2) $$
$$ A = pi r_1^2 + pi (r_2 – r_1)^2 + frac{1}{2} (r_1^2 + r_2^2) – frac{1}{2} r_1 (r_2 – r_1) $$
通过上述推导，我们得到了扇环面积的公式：
$$ A = frac{1}{2} (r_1^2 + r_2^2) – frac{1}{2} r_1 (r_2 – r_1) $$
这个公式可以帮助我们轻松计算任何由两个同心圆构成的扇形区域的面积。
