圆的面积（Area）
定义：圆的面积是指圆内所有点的平面区域与其边界之间的面积。
公式：圆的面积可以通过以下公式计算：
[ A = pi r^2 ]
其中，( A ) 表示面积，( r ) 是圆的半径。
推导过程：
1. 假设有一个圆，其半径为 ( r )。
2. 圆的面积可以想象为一个以圆心为中心，半径为 ( r ) 的扇形。
3. 扇形的面积可以用公式 ( frac{1}{2} times text{底边长度} times text{高} ) 来计算，这里底边长度即为圆的周长，而高就是圆弧的长度。
4. 圆的周长公式为 ( C = 2pi r )，所以高 ( h ) 为 ( h = C/2 = 2pi r/2 = pi r )。
5. 扇形的面积为 ( frac{1}{2} times pi r times pi r = pi^2 r^2 )。
6. 由于这个面积是整个圆的面积的一部分，我们将其乘以 2 来得到总面积：
[ A = 2 times pi^2 r^2 = 2pi r^2 ]
圆的体积（Volume）
定义：圆的体积是指圆内所有点的体积与边界之间的体积。
公式：圆的体积可以通过以下公式计算：
[ V = frac{4}{3}pi r^3 ]
其中，( V ) 表示体积，( r ) 是圆的半径。
推导过程：
1. 假设有一个圆，其半径为 ( r )。
2. 圆的体积可以想象为一个由无数个球体组成的立体，每个球体的半径都是 ( r )。
3. 这些球体的总体积等于圆的体积。
4. 每个球体的体积可以用公式 ( V_{text{sphere}} = frac{4}{3}pi r^3 ) 来计算。
5. 由于有无数个这样的球体，总体积为 ( V = n times V_{text{sphere}} = n times frac{4}{3}pi r^3 )。
6. 将 ( n ) 替换为 3（因为有三个维度），得到：
[ V = 3 times frac{4}{3}pi r^3 = 4pi r^3 ]
7. 圆的体积公式为 ( V = 4pi r^3 )。
