向量积（又称外积或叉积）是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量的相对位置。向量积的平方，即两个向量的点积的平方，在数学上具有一些有趣的性质和用途。
向量积的定义
设 ( mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n) ) 和 ( mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n) ) 是两个 ( n times 1 ) 的列向量，则它们的向量积定义为：
[ mathbf{a} times mathbf{b} = begin{bmatrix} a_1 & a_2 & cdots & a_n \ b_1 & b_2 & cdots & b_n end{bmatrix} ]
向量积的平方
向量积的平方，记作 (mathbf{a} times mathbf{a})，是一个标量，表示两个向量的点积。具体来说：
[ (mathbf{a} times mathbf{b}) times (mathbf{a} times mathbf{b}) = mathbf{a} times mathbf{b} ]
这个结果是一个标量，而不是一个向量，但它仍然可以用于进一步的运算。
向量积的平方的性质
– 交换律：如果 ( mathbf{a} = mathbf{b} )，那么 (mathbf{a} times mathbf{a} = mathbf{b} times mathbf{b} = 0)。
– 消元律：如果 ( mathbf{a} = k mathbf{b} )，那么 (mathbf{a} times mathbf{a} = k^2 mathbf{a} times mathbf{b} = k^2 mathbf{b})。
– 分配律：对于任意标量 ( c ) 和两个向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} )，有 (mathbf{a} times (mathbf{b} + c) = mathbf{a} times mathbf{b} + c)。
应用举例
– 旋转矩阵：在计算机图形学中，旋转矩阵可以用来描述物体的旋转。旋转矩阵的平方可以用于计算旋转后的坐标。
– 物理定律：在某些物理问题中，如电磁场中的洛伦兹力，可以通过向量积的平方来找到磁场对电荷的作用力。
向量积的平方提供了一种简洁而深刻的数学工具，用于处理向量间的相对位置关系。通过学习和应用这些性质，我们可以更好地理解向量空间中的运算规则，并解决各种实际问题。
