1．二元一次方程组的图像解析方法
如果在同一个直角坐标系中绘制二元一次方程组内两个方程的图像，则可以通过图像来确定方程组的解。这种求解方法被称为二元一次方程组的图像解析方法。下面通过具体实例进行详细说明：
例1．运用图像解析方法求解以下方程组
{x-y+2=0, (1)
2x+y+1=0.} (2)
【解析】在§3.4的例1中，我们已经绘制过这两个方程的图像，它们分别表示两条相交直线 AB 和 CD （如图3.17所示)。这两条直线的交点P的坐标为 x =-1, y=1，该坐标即为所求方程组的解。
*下面我们详细阐述其求解原理。
首先，由于点P同时位于方程（1）的图像AB上和方程（2）的图像CD上，因此其坐标 x =-1, y =1既满足方程（1)，又满足方程（2)。由此可以确定 x =-1, y =1是方程组的解。
从逆向角度分析，方程组的解必须同时满足方程（1）和方程（2)的条件。因此，表示该解的点必须同时位于方程（1）的图像AB和方程（2）的图像CD上。由此可见，该解必定是AB和CD的交点P。这意味着除了 x =-1, y =1之外，方程组不存在其他解。
例2．采用图像法求解以下方程组：
{2x-3y+4=0,
4x-6y+8=0.}
【解析】在§3.4的例2中，我们已经绘制过这两个方程的图像，它们表示同一条直线（如图3.18所示)。因此，该直线上的任意一点的坐标都是这两个方程的共同解，方程组具有无穷多组解；
注 这些解可以用以下表达式表示：
{y=⅓(2x+4),
x=m(任意实数）。}
例3．采用图像法求解以下方程组：
{2x-3y+4=0,
4x-6y-2=0.}
【解析】在§3.4的例2中，我们已经绘制过这两个方程的图像，它们表示两条互相平行的直线（如图3.18所示)。这两条直线不存在公共点，因此该方程组无解。
2．二元一次方程组解的多样性分析
通过上述实例可以得出，二元一次方程组的解存在三种可能情况：
(1)存在唯一解（方程组中两个方程的图像为两条相交直线）。
(2）存在无穷多解（方程组中两个方程的图像为同一条直线）。
(3）无解（方程组中两个方程的图像为两条平行直线）。
由于平面上两条直线的相对位置关系仅包括相交、重合和平行三种情况，因此二元一次方程组的解的组数也仅存在这三种可能性。
1．采用图像法求解下列各方程组，并运用代数方法（加减法或代入法）进行验证。
2.(1）求以下两条直线的斜率和y轴截距：
2x+3y+4=0,
4x+6y-5=0;
(2）利用图像说明方程组
{2x+3y+4=0,
4x+6y-5= 0}
无解。
3.(1）求以下两条直线的斜率和y轴截距：
3x-2y+4=0,
6x-4y+8=0;
(2）利用图像说明方程组
{3x-2y+4=0,
6x-4y+8=0}
存在无穷多解。
4．已知方程组：
{y= kx +b₁,
y = kx +b₂,}
(1）在何种条件下，该方程组无解？
(2）在何种条件下，该方程组存在无穷多解？
1．一次函数
(1）一般形式： y = kx + b ( k ≠0).、
特例——正比例关系： y = kx ( k ≠0)。
(2）图像为直线，其斜率为k, y轴截距为 b .(k = tan α ,其中 α 是直线向上方向与x轴正方向形成的夹角。)
(3）性质：
( i ）当 k >0时，函数呈现单调递增趋势；
( ii ）当 k<0时，函数呈现单调递减趋势。
2．方程 ax + by + c =0的图像特性
(1) a ≠0, b ≠0、图像为直线
(2) a ≠0, b =0、
图像为直线
特例： x =0( y 轴）。
(3) a =0, b ≠0.
图像为直线
特例： y =0( x 轴）
3．采用图像法求解二元一次方程组的步骤
(1）首先在同一个直角坐标系中绘制方程组的两个方程的图像；
(2）如果这两条直线：
( i ）相交，交点的坐标即为所求解；
( ii ）重合，方程组存在无数组解；
( iii ）平行，方程组无解。
1．回答以下问题：
(1）如何判断两个变量之间存在正比例关系？（列举你所了解的判定方法．)
(2）一次函数 y = kx + b 在何种情况下呈现上升趋势？在何种情况下呈现下降趋势？
(3）对于一次函数 y = kx + b 来说，是否可能使函数任意两个函数值的比值等于对应的两个自变量的比值？
(4）在一次函数 y = kx +b中，当 k 的值逐渐增大时，直线 y = kx +b的位置将发生怎样的变化？
［提示：考虑 k >0, k <0两种情况．]
2．设从管口流出的水量 Q （升）与时间 t （秒）之间的关系为 Q = kt ，其中 k 为常数，
(1) Q 和 t 之间是什么关系？
(2）已知3秒钟内流出的水量为72升，求比例系数 k 的值（单位：升/秒）?
(3）根据上述比例系数，计算4.5秒钟内管口流出的水量；
(4）根据上述比例系数，计算管口流出的水量达到100升所需的时间。
3．如果第一个量 x 与第二个量 y 成正比例，而第二个量 y 与第三个量z又成正比例。证明第一个量 x 与第三个量z也成正比例。
4.(1）在同一坐标系里绘制下列直线：
y =5x-4, y=5x+4;
(2）说明各直线与直线 y =5x的相同点和不同点；
(3）求各直线与坐标轴的交点坐标。
5．根据以下条件，求直线的方程：
(1）经过A( a ,0）和B (0, b ）两点（ a ≠0, b ≠ Q );
(2）斜率是 m ，并且经过点（0, b );
(3）斜率是 m ，并且经过点（ a , b ).
6.(1）在同一坐标系里绘制下面三条直线：
x+y=5; 2x-y=7; x-y+1=0;
(2）找出这三条直线所围成的三角形三个顶点的坐标。
7．设有方程组：
{a₁x+b₁y +c₁=0,
a₂x+b₂y +c₂=0,}
其中a₁,a₂,b₁, b₂ ,c₁,c₂都不等于零，证明：
8．利用上题的结论，求方程组
{2x- y =1,
2x+ ky =3}
中， k取什么值的时候，它就没有解。
9．利用图像解方程组
{mx+ y =3,
x + my =3.}
(1) m =2;
(2) m =1;
(3) m =-1;
(4) m =0.
*10．根据实验数据，在0℃时，100克水中可以溶解30克氯化铵；在50℃时，100克水中可以溶解50克氯化铵．已知在0~50℃的范围内，氯化铵的溶解度与温度呈一次函数关系。试建立该函数关系式，并计算在20℃时100克水中可以溶解多少克氯化铵？
几张图片后将公布本章习题答案。
上期链接：
名师彻底讲透初等函数(11)方程ax+by+c=0的图象https://m.toutiao.com/is/iY265Bc6/
下期预告：第四章 二次函数
在上一章中，我们研究了 x 的一次函数 y = ax + b 。这种函数的解析式 f ( x ）是 x 的一次式。在这一章中，我们将研究另一类重要的函数。这类函数的解析式是x的二次式，我们将其称为 x 的二次函数。
§4.1函数 y =ax²+bx+c (a≠0)
我们来看变量之间以下这些函数关系：
设正方形的一边是x厘米，它的面积是 y 平方厘米，那么变量 y 和 x 之间具有以下函数关系：
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科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。