随着期末考试的日益临近，本篇内容将深入探讨角度计算中的一些典型难题。角度计算是期末考试中的重点考察内容，有时甚至会被设置为压轴题目。在角度问题中，经常涉及到的概念包括垂直、余角、补角以及角平分线等，这些问题往往与旋转、动点等元素相结合，增加了计算的复杂性和难度。
例题1：考虑一副三角板，其中一块含有60°角的三角板的顶点与另一块含有45°角的三角板的顶点重合于点O。当含有60°角的三角板绕着点O旋转60°后，与另一块三角板拼成特定形状（其中OB位于∠COD的内部），请根据此情景回答以下问题：
（1）如图1所示，将含有60°角的一边与45°角的一边重合放置，此时∠AOD的度数是多少？
（2）若将三角板AOB绕点O继续旋转，直到OB成为∠COD的角平分线，此时∠AOD的度数应为多少？
（3）是否存在一种情况，使得∠AOC的度数恰好是∠BOD度数的3倍？如果存在，请求出∠AOD的度数；如果不存在，请说明理由。
分析：（1）为了求解∠AOD的度数，我们可以利用角度的和差关系，即∠AOD=∠AOB+∠COD。由于这两个角的度数已知，直接代入计算即可得出结果。
（2）根据角平分线的定义，我们可以知道∠BOD的度数是∠COD度数的一半。
（3）设∠BOC=x度，然后根据角度关系表示出∠AOC和∠BOD，再列出方程求解。
在处理涉及连比、倍数关系或和差关系的问题时，可以采用设未知数的方法，利用方程思想进行解题。
例题2：假设∠AOC为100°，∠BOC为30°，OM和ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线。求∠MON的度数。
分析：需要画出两种可能的图形，即点C可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部。根据角平分线的定义，求出∠MOC和∠NOC的度数，进而求出∠MON。
解：（1）当射线OC位于∠AOB内部时，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，∠AOC=100°，∠BOC=30°，
∴∠COM=1/2∠AOC=50°，∠CON=1/2∠BOC=15°，
∴∠MON=∠MOC+∠NOC=50°+15°=65°；
（2）当射线OC位于∠AOB外部时，
∠MON=∠MOC-∠NOC=50°-15°=35°；
所以∠MON的度数是65°或35°。
在处理线段和角度问题时，如果没有给出具体的图形，可能需要分情况讨论。
例题3：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）
（1）当t=3时，求∠AOB的度数；
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）利用∠AOB=180°-∠AOM-∠BON，即可求出结论；
（2）利用∠AOM+∠BON=180°+∠AOB，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分0≤t≤18及18≤t≤60两种情况考虑，当0≤t≤18时，利用∠AOB=180°-∠AOM-∠BON=90°，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当18≤t≤60时，利用∠AOM+∠BON=180°+∠AOB（∠AOB=90°或270°），即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
旋转问题是考试中常见的题型，这类问题需要特别重视，通常与分类讨论思想和动手操作能力相结合。
例题4：如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有4个直角；当t=2时，∠MON的度数为144°，∠BON的度数为（）°，∠MOC的度数为（）°．
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；
（3）当0＜t＜6时，探究7∠COM+2∠BON/∠MON的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值
分析：（1）根据两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM，ON的位置，可得∠MON的度数，∠BON的度数以及∠MOC的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t＜12时，分别根据∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式进行求解，即可得到t的值；
（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜10/3时，当10/3＜t＜6时，分别计算7∠COM+2∠BON//∠MON的值，根据结果作出判断即可．
探究定值类问题一般与角度的和差、方程思想相结合，部分问题难度较大。
例题5：如图，已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的度数．
（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．
分析：（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON=∠BOM+∠BON可求解；
（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON=∠BOM+∠BON可求解。
双角平分线于线段双中点问题类似，处理方法也差不多。