介绍
我们将深入了解马尔可夫链的概念和特性，一种强大的数学工具，用于描述随机过程的建模。我们首先将从基础概念出发，讨论马尔可夫链的定义和性质，然后通过示例来解释其在实际中的应用，如PageRank算法。
一、什么是马尔可夫链？
马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一系列事件，其中每个事件的发生仅与前一个事件有关。这种链式关系构成了随机过程中的一个重要概念。在介绍马尔可夫链之前，我们将快速回顾一下概率论的一些基本概念。
（一）随机变量和随机过程
随机变量是表示随机现象结果的变量。在非数学术语中，我们可以将随机变量定义为掷骰子的结果（数字）或投掷的输出（正面或反面）。随机过程则是由随机变量组成的集合，通常表示不同的时间瞬间。例如，每天的天气变化、股票价格的波动等都可以视为随机过程。
（二）马尔可夫性质和马尔可夫链
马尔可夫性质指的是“未来与过去独立”，即在给定现在状态下，系统的未来状态与过去状态是条件独立的。具有马尔可夫性质的过程称为马尔可夫过程。而马尔可夫链则是离散时间和离散状态空间的马尔可夫过程的特殊情况。在马尔可夫链中，系统的状态在给定时间内按照一定的概率进行转移，形成一个状态转移的概率矩阵。
二、有限状态空间马尔可夫链
（一）矩阵和图表示
有限状态空间的马尔可夫链可以用矩阵和图两种方式来表示。初始概率分布可以用行向量表示，转移概率可以用矩阵表示。这种表示法的优点是可以通过简单的矩阵运算来计算给定时间步的概率分布。
（二）示例：TDS阅读行为马尔可夫链
为了更好地理解马尔可夫链的概念，我们通过一个实例来说明。假设有一个虚构的数据科学读者的日常行为，我们可以将其行为定义为一系列的状态转移，并构建一个马尔可夫链来描述这种行为。通过计算转移概率和初始概率，我们可以预测读者在未来某一天的行为。
三、马尔可夫链性质
在本节中，我们将介绍一些马尔可夫链的基本性质，如可还原性、周期性、瞬态和重现性等。这些性质对于理解马尔可夫链的行为和应用具有重要意义。例如，通过计算平稳分布和遍历性定理，我们可以更好地理解马尔可夫链的长期行为。
四、PageRank算法与马尔可夫链
PageRank算法是一种基于马尔可夫链的著名算法，用于对网页进行排名。在PageRank算法中，网页之间的链接关系被视为一种状态转移关系，每个网页都有一个PageRank值，表示其在长期运行后被访问的概率。通过计算网页之间的转移概率和初始概率，我们可以得到每个网页的PageRank值，从而对网页进行排名。
五、总结