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接下来，让我们轻松愉快地讨论两个有趣的问题：为什么sin(x)的导数是cos(x)，以及为什么cos(x)的导数是sin(x)？这两个问题虽然经常被提及，但其证明方法多种多样。在这里，我将提供一种基于几何的直观“证明”方法，只需初中数学知识就能理解。
让我们看第一张图：
在一个四分之一圆的背景下（图1），我们可以清晰地看到，当角度从α转动一个微小的角度dα到α+dα时，正弦值的增量表现为何。为了更直观地理解这一增量，我们将放大图中的绿色小三角形部分（图2）。回忆一下弧长公式，其中l代表弧长，α是圆心角，R是半径。在图中，我们可以看到弧长与角度之间的关系。实际上，当角度dα非常小的时候，这段弧长几乎可以看作是一条直线。这是因为当我们无限放大这一小段弧长时，它变得非常接近于直线。想象一下当红色点（在圆上）逐渐靠近橙色点时，青色的割线会逐渐接近圆在橙色点处的切线。我们知道半径垂直于切线，因此可以近似认为青色的割线与半径垂直。这就导致了图中两个相似三角形的形成（图4）。通过相似三角形的性质，我们可以得出sin(x)的导数接近于cos(x)。
至于第二个问题——为什么cos(x)的导数是sin(x)，我们可以参考图6。在这个图中，绿色的长度s表示的是当橙色的半径从角度α转动到红色半径时，余弦值的增量。这个增量是负的。求解这个长度s仍然可以使用之前提到的近似方法和青色小三角形。由于长度s就是青色小三角形的短直角边，我们可以利用相似三角形的性质得出cos(x)的导数接近于sin(x)。
希望通过这种直观的方式，您能够更好地理解这两个经典问题的几何证明方法。
