1. 已知三角形ABC的垂心和外心分别为H和O，角平分线AD与BC的中点M相连，BCH的外接圆与OM交于三角形ABC内的点N。求证：∠HAN=∠ADO。
证路分析：
首先作出BC弧的中点K。
要证明∠HAN=∠ADO，可以转化为证明∠ANO=∠ADO。进一步转化可以得到AOND四点共圆。根据鸡爪定理，可以得出KNKO=KDKA=KB^2。由此可以证明△N与△O相似，从而推出∠N=∠BNK，进一步得到∠BNC=∠C=180-∠BAC=∠BHC。BNHC四点共圆，证明过程结束。
注：此题虽可用鸡爪定理，但其构型与鸡爪定理本质相同。
2. 已知三角形ABC的内心为I，M、N分别为AC、AB的中点，E、F在AC、AB上，且BE//IM，CF//IN，通过I作EF的平行线交BC于P。求证：P在AI上的射影在△ABC的外接圆上。
证路分析：
此题较为复杂，需分步解决。首先确定AE、AF的长度，然后确定∠ATE、∠IHD的数值。最后使用鸡爪定理证明相似关系，得出结果。
注：此题难度不小，需要合理的分步和逐一的转化。对于三角函数有一定的要求，建议读者认真体会和揣摩。
3. 已知△ABC的内心为I，AI、BI、CI交其外接圆于K、L、M，R在AB上，RP//AK，PB⊥，RQ//，QA⊥AK。求证：MR、QL、PK三线共点。
证路分析：
简化图形后，只需证明QL与MR交点在外接圆上。通过设QL交MR于T，利用鸡爪定理和相似三角形性质，逐步推导得出△RAQ与△MAL的相似性，从而证明MR、QL、PK三线共点。
注：此题看着复杂，但逐步简化后，条理清晰，通过合理的推导可以得到答案。
4. 已知O为△ABC的外心，I为A的旁心，P为AI的中点，AI交BC于D，IT⊥BC于T，O’为△ATD的外心。求证：O’OP共线。
证路分析：
通过补出两圆并找到其相交点Z，利用共线的等价条件IZ⊥AZ，结合此类构型的核性性质进行证明。具体证明过程中涉及到圆的性质、相似三角形等知识点。
注：此题提示了作出外接圆的重要性，如果思路偏离，可能会浪费很多时间。
5. 已知△ABC的内心为I，BI交其外接圆于M，∠AOB、BOC的角平分线交以BM为直径的圆于P、Q，R在QP上且RB=RM。求证：RB//AC。
证路分析：
通过转化图形，将问题简化为证明POLQ共圆。在简化后的图形中，利用已知的圆的性质和角度关系，逐步推导得出结果。
注：此题初看复杂，但通过不断的图形简化和转化，最终能在简洁的图形下得出显而易见的结果。此题再次用到了SSA判定中的全等三角形判定方法。
