从导数和极限的定义出发，我将详细证明你们在本科微积分中会学到的一阶导数规则，特别是幂函数的导数规则，即“幂法则”。
通常，学生在微积分教材中见到的幂法则证明往往部分证明或者没有详细证明。实际上，通过完整的证明过程，学生可以学到更多的知识和理解。在这个证明过程中，我将尽量只使用以下“工具”：极限的定义、导数的定义以及你们在标准代数课程中学到的知识，包括指数法则和各种代数结构的属性（整数、有理数、实数）。
我想强调的是，在这个证明中，我将避免使用对数的导数、指数函数的导数或者二项式定理，因为大部分证明通常至少会使用其中之一。
证明结构：
1. 证明积法则（The Product Rule）；
2. 证明链式法则（Chain Rule）；
3. 证明幂法则，包括整数、有理数和无理数的情况。
一、证明积法则：
我们知道，z(x)=f(x)g(x)。要证明z相对于x的导数，由于我们谈论的是任意函数，我们必须使用导数的定义。我们要从导数的定义来证明积法则。定义一个函数z(x)=f(x)g(x)。然后，我们求z相对于x的导数。
二、证明链式法则：
类似于积法则的证明方法，我们将证明链式法则。这个法则的重要性在于，它允许我们通过复合函数求导。具体来说，如果我们有一个函数g和一个函数f，并且我们知道f和g的导数，那么我们就可以使用链式法则找到g(f(x))的导数。
三、证明幂法则：
这是我们的主要目标。我们将分别处理n为整数、有理数和无理数的情况。
1. 当n为整数时：我们将分别处理n=0，n>0和n
2. 当n为有理数时：我们可以通过将n表示为两个整数的比（即有理数），并利用之前证明的整数情况来证明有理数的情况。
