
关于15度角的正弦和余弦值的几何算法解析
在学习的过程中,我们可以利用半角公式,根据已知的cos30的值,来计算sin15和cos15的值。其实,我们还可以通过两个简单的图形,运用初中的数学知识来进行计算。
我们借助以下两个图形来推导sin15和cos15的值:
我们设想一个等腰直角三角形ADE和一个30-60-90的直角三角形DEB。假设这两个三角形背靠背放置,公共边设为1,那么DB的长度就是2。接着,我们延长AD至C,并做BC垂直于AC,这样就构成了另一个等腰直角三角形ABC。
在三角形DBC中,∠DBC=15,假设DC的长度为x。在三角形ADE中,由于DE=1,根据勾股定理,我们可以推导出AD的长度为√2。在三角形BDE中,因为∠DBE=30,所以BD=2,而BE=√3。在三角形ABC中,AB=1+√3,因此AC=BC的长度可以通过公式计算得出:AC=BC=(1+√3)/√2。进一步简化后得到:AC=BC=(√2+√6)/2。
已知CD=x,结合AC的长度,我们可以解出x的值:x=(√2+√6)-√2=(√6-√2)/2。由于sin15=CD/BD=x/2,所以我们可以得出sin15=(√6-√2)/4。接着,根据BC的长度和cos15的定义,我们可以计算出cos15=(√6+√2)/4。
我们可以通过正弦的倍角公式进行验证:sin2=2sincos。将sin15和cos15的值代入公式,可以得到2sin15cos15=2[(√6-√2)/4][(√6+√2)/4]=2(6-2)/16=1/2,这与sin30的值相符。
我们还可以求得tan15的值:tan15= 2-√3。
另一种方法是通过组合几个直角三角形来形成一个长方形,进而求得15度角的正弦和余弦值。这种方法也值得我们探索和理解。
