在高等数学考研中，连续性是一个核心概念，它涉及到函数在某点的行为以及连续函数的整体性质。以下是关于连续性的主要知识点，辅以具体例子进行解释：
一、连续性的定义
函数f(x)在点x0处连续，如果满足以下条件：函数在x0处有定义；当x趋近于x0时，函数的极限存在；这个极限值等于函数在x0处的值。例如，考虑函数f(x)=x^2，它在任何点都连续，因为当x趋近于任意值时，函数的值总是等于该点的平方。
二、间断点的分类
间断点是函数不连续的点。主要有以下几种类型：跳跃间断点，左右极限存在但不相等；可去间断点，左右极限相等但不等于函数在该点的值；无穷间断点，至少一侧的极限为无穷大；震荡间断点，左右极限振荡不存在。例如，函数f(x)=1/x在x=0处就是无穷间断点，因为当x趋近于0时，函数值趋向无穷大。
三、闭区间上连续函数的性质
如果函数在闭区间[a, b]上连续，它在这个区间上是有界的，并能取得最大值和最小值。连续函数还具有介值性质：如果在区间上连续且两端点的函数值异号，则区间内必有使函数值为零的点。例如，考虑函数f(x)=x^3-3x在区间[-2, 2]，由于它是连续的，根据最值定理我们知道它在此区间有最大值和最小值。
四、连续函数的运算性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）在定义域内仍然是连续的。基本初等函数（如多项式、三角函数等）在其定义域内也是连续的。如果内层函数和外层函数都是连续的，那么复合函数也是连续的。例如，考虑函数h(u)=u^2和g(x)=x^2-1。当x趋近于某个值时，h(g(x))也将趋近于相应的值，说明复合函数是连续的。
五、反函数的连续性
如果原函数在闭区间上连续且单调，则其反函数也是连续的。例如，正弦函数在[-π/2, π/2]区间内是单调的，因此其反函数在这个区间内也是连续的。
掌握这些关于连续性的知识点对于解决考研数学中的问题是至关重要的。通过理解和运用这些概念，学生可以更好地处理涉及极限、微分和积分的高级数学问题。
