PCA：主成分分析的基本数学原理及工作原理详解
概述
主成分分析（PCA）是一种常见的数据分析方法。它通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，主要用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。
一、降维概述
降维是一种减少数据特征数量的过程，旨在提高算法运算速度并保留主要信息。对于数组和序列来说，维度就是shape()函数返回的结果。当数组中存在多个表时，shape返回的是更高维度的行和列。在图像中，维度是特征向量的数量，可以理解为坐标轴。降低维度意味着减少特征矩阵中的特征数量。
二、PCA概述
PCA是一种通过寻找数据中的主成分来降低数据维度的方法。这些主成分能够最大限度地保留数据中的信息。在降维过程中，PCA通过线性变换将原始数据转换为一组新的特征，这些新特征是原始特征的线性组合，并且各个新特征之间互不相关。
三、PCA的数学原理
PCA的核心是协方差矩阵的特征值分解。协方差矩阵能够度量不同特征之间的关联程度。通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到数据的主成分。这些主成分按照对应的特征值大小进行排序，特征值越大，对应的主成分所包含的信息量就越大。
四、PCA的工作流程
1. 输入原始数据，组成特征矩阵。
2. 计算协方差矩阵。
3. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 选择前k个最大的特征值对应的特征向量组成矩阵。
5. 将原始数据映新的特征向量空间，得到降维后的数据。
五、选择主成分个数（即k的值）
选择主成分个数是一个关键步骤，决定了降维后的数据能够保留多少原始信息。一种常用的方法是计算不同k值所保留的方差百分比。k值越大，保留的方差百分比越高，但降维效果越不明显；k值过小，则可能丢失过多信息。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的k值。
六、PCA的优势与局限性
PCA的优势在于能够有效地降低数据维度，提高运算效率，同时保留主要信息。PCA假设数据的主成分能够代表所有数据的变化，这可能在某些情况下不成立。PCA生成的新特征是原始特征的线性组合，不具有可解释性，难以解释新特征与标签之间的关系。PCA通常适用于探索数据结构和降维等任务，而不适用于建立预测模型。
七、sklearn中的PCA参数解释
在sklearn库中，PCA的主要参数包括n_components（降维后的维度）、svd_solver（奇异值分解器的选择）等。n_components决定了降维后的特征数量，可以通过累积可解释方差贡献率曲线来选择最佳取值。svd_solver参数用于控制矩阵分解的细节，有多种可选模式，可以根据数据量和计算资源选择合适的模式。sklearn中的components_属性保存了降维后的特征向量矩阵。
PCA是一种有效的数据降维方法，通过提取数据的主要特征分量来降低数据维度。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数和模型。由于PCA生成的新特征不具有可解释性，因此不适用于建立预测模型。
