二次函数在特定闭区间上的最值问题是高中数学中的重点与难点。许多问题最终都可以归结为求二次函数在某一区间上的最值。
二次函数的最值与抛物线的开口方向以及对称轴在区间上的位置紧密相关。以开口向上的抛物线为例，给定区间[m，n]，其对称轴可能位于区间之内，也可能位于区间的左侧或右侧。我们分三种情况进行讨论：
一、最小值的求法：
1. 当区间[m，n]位于对称轴的左侧时，如图1所示，函数f(X)在区间[m，n]上单调递减，此时最小值为f(n)。
2. 当区间[m，n]位于对称轴的右侧时，如图2所示，函数f(X)在区间[m，n]上单调递增，此时最小值为f(m)。
3. 当对称轴位于区间[m，n]之内时，如图3所示，函数f(X)在区间内先减后增，最小值在对称轴对应的点处取得。
二、最大值的求法：
由于抛物线开口向上，最大值只可能在区间的端点处取得。若对称轴X的值大于(m+n)/2，则最大值为f(m)；若对称轴X的值小于(m+n)/2，则最大值为f(n)。若对称轴X的值等于(m+n)/2，则最大值在两端点处相等。实际操作时可以通过比较f(m)和f(n)的大小来确定最大值的位置。
对于开口向下的抛物线，可以通过类似的方式求得最值。
例如，求二次函数f(X)=X一2Ⅹ+2在X∈[t，t+1]时的最小值。我们可以根据对称轴的位置和区间[t，t+1]的关系，分析函数在不同区间的单调性，从而求出最小值。同样地，我们可以按照类似的方法求最大值。
再比如，对于二次函数f(Ⅹ)=X一2aX一1在X∈[0，2]的最大值问题，由于抛物线开口向上，最大值只可能在端点处取得，通过比较f(0)和f(2)的大小，可以得到最大值。
还有一些复杂的问题，如例3和例5，需要我们通过综合分析抛物线的性质、区间的关系以及值域的信息，来求解最值问题。
求解二次函数在闭区间上的最值问题需要我们熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论、单调性分析以及比较法等方法来求解。欢迎关注数学山人行，一起探索数学的奥秘！
