函数的值域求解方法众多，首先需要关注的便是函数的定义域，因为定义域的不同，值域往往也会有所区别。
①观察法：对于一些基本初等函数，例如X≥0、1/x≠0等，可以直接通过观察得出其值域。
②换元法：对于含有根式或者重复出现的代数式，可以通过换元简化问题。换元后，问题通常可以转化为二次函数问题。但需要注意的是，一定要明确新“元”的范围，否则容易出错。
③配方法：配方法主要用于解二次函数。一般需要求出函数在给定区间内的值。
④分离常数法：当分子分母有关于x的同次式时，可以通过此法化难为易。例如y=(x+2)/(x-1)，可以通过变换化为一个整数和一个分子为常数的分式。
⑤单调性法：根据函数的单调性确定其增减求值域，是高中数学中常用的方法。
⑥数形结合法：通过画出函数的图像，可以直观地找出其取值范围。
⑦判别式法：有些分式函数可以转化为二次函数，利用判别式求解。但需要注意，这种转化必须在任意x上都成立。
接下来，我们求下列函数的值域：
1. y=1/(1+x)
通过观察法，因为X∈R，所以x+1≥1，所以0
我们可以通过单调性法求解：设1+X=t(t≥1)，则y=1/t，因为y=1/t在[1，+∞)上是减函数，所以0
2. f(X)=2X+√(1+2X)
通过换元法，设1+2X=t，t≥0，则函数变换为y=t一1+t，再化为标准二次函数形式y=t+t一1=(t+1/2)一5/4。因为函数y在[0，+∞)上是增函数，所以当t=0即X=-1/2时取得最小值一1，所以y≥一1，故函数的值域为[一1，+∞)。
3. f(X)=√(X一2X+3)
因为X一2X+3=(X一1)+2≥2，所以√(X一2X+3)≥√2，故函数的值域为[√2，+∞)。
4. f(x)=√(X一2X一3)
因为X一2X一3=(X一1)一4，但作为二次根式的被开方数只能是≥0，所以√(X一2X一3)≥0，故函数的值域为[0，+∞)。
5. f(X)=(X一1)/(4X+2)
对于这类分式函数，可以采用分离常数法。f(X)=1/4(4X+2一6)/(4X+2)= 1/4一3/2(4X+2)。根据分子分母的特点，进行分离常数处理。
6. f(X)=(X一1)/(X+1)
