要化简表达式 $acos x + bcos x$，我们可以使用和差化积公式。这个公式是：
$$ acos x + bcos x = sqrt{a^2 + b^2} left(frac{cos x + sqrt{a^2 + b^2}sin x}{sqrt{a^2 + b^2}}right) $$
这个公式的推导基于三角恒等式 $cos A + sin A = sqrt{2} left(cos A cos B + sin A sin Bright)$，其中 $A = x$, $B = 0$。
步骤1: 应用和差化积公式
将 $A = x$ 和 $B = 0$ 代入上述公式中，我们得到：
$$ acos x + bcos x = sqrt{a^2 + b^2} left(frac{cos x + sqrt{a^2 + b^2}sin x}{sqrt{a^2 + b^2}}right) $$
步骤2: 简化表达式
为了进一步简化，我们可以将分子中的 $cos x + sqrt{a^2 + b^2}sin x$ 重写为 $cos x + sqrt{a^2 + b^2}$，因为 $cos x + sin x = sqrt{2} (cos x + sin x)$。这样，我们的表达式变为：
$$ acos x + bcos x = sqrt{a^2 + b^2} left(frac{cos x + sqrt{a^2 + b^2}}{sqrt{a^2 + b^2}}right) $$
步骤3: 提取公因子
从上式中提取 $sqrt{a^2 + b^2}$ 作为公因子：
$$ acos x + bcos x = frac{sqrt{a^2 + b^2}}{sqrt{a^2 + b^2}} (cos x + sqrt{a^2 + b^2}) $$
步骤4: 简化表达式
由于 $sqrt{a^2 + b^2}$ 总是正的，我们可以进一步简化：
$$ acos x + bcos x = frac{cos x + sqrt{a^2 + b^2}}{|sqrt{a^2 + b^2}|} $$
最终的简化结果是：
$$ acos x + bcos x = frac{cos x + sqrt{a^2 + b^2}}{|sqrt{a^2 + b^2}|} $$
这就是 $acos x + bcos x$ 的化简结果。