通过前期的学习历程，我们已经了解到，定积分能借助牛顿-莱布尼兹公式转变为两个端点上某函数值的差值。同样地，二重积分能够通过格林公式转化为积分区域边界线的曲线积分。
今日，我们将进一步探讨三重积分的奥秘，即如何通过高斯公式将其转化为积分区域边界面的曲面积分。
高斯公式描述如下：设Ω是一个封闭的空间区域，其边界曲面Σ由若干片平滑且闭合的曲面组成。当曲面Σ的方向取为外侧时，若函数P、Q、R在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：
其中，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点（x，y，z）处法向量的方向余弦。这两个公式均被称为高斯公式。由于坐标的曲面积分与面积的曲面积分可以相互转换，因此上述两个公式是等价的。
接下来，我们将逐步推导高斯公式的证明过程：
假设Ω是一个简单的区域，即它是xy、yz和zx型区域（简单来说，如果Ω在xoy坐标面上的投影，每个xoy坐标点的z值唯一，那么它就是xy型区域）。由于P、Q、R的独立性，我们仅以第三项为例进行证明，其余项的证明方法类似。
设Ω在xy面上的投影区域为Dxy，并设定三个曲面Σ1、Σ2和Σ3，其方向和表达式已在上文中给出。然后我们可以对区域Ω进行描述。从两个不同的角度来看，我们可以得到：
将这两个表达式相等，我们可以得出：
若Ω不是简单区域，我们可以通过添加辅助面的方式将其分割成若干个简单区域。由于辅助面正反两侧的曲面积分会相互抵消，因此高斯公式的有效性不受影响。结合两类曲面积分的关系，我们可以完成高斯公式的证明。
几点需要注意的地方：
1. 在使用高斯公式计算曲面积分时，曲面Σ必须是有向、封闭且光滑的（或分片光滑）。如果Σ不封闭，我们可以添加辅助面使其封闭，但在计算时需减去辅助面部分的曲面积分。
2. 当P=x，Q=y，R=z时，利用高斯公式可以方便地计算出正向闭曲面Σ所围区域Ω的体积。
为了更好地理解这一概念，我们通过一个实例来加深印象。假设要计算一个特定曲面的积分数值，其中该曲面由平面x=0、y=0、z=0以及x=a、y=b、z=c所定义，方向指向外侧。按照高斯公式的步骤进行推导和计算，我们将能够得到该曲面积分的值。