我们正在探索函数的领域时，不免会碰到非常复杂的函数表达式。在这个时候，我们就可以借助于泰勒公式来对它们进行展开。将复杂的函数转换为多项式形式，使得我们更容易研究其性质和进行计算。
以下是我们所称的带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式的形式：
此公式对于函数展开的表述是十分重要的工具。
下面，我们开始对这一公式进行证明：
在开始之前，我们先引入两个重要的引理。
引理一：如果函数在某点附近存在n阶导数，那么可以确定，其函数值与一个多项式函数的值之间存在高阶无穷小的关系。
证明：我们想要证明某多项式是原函数的高阶无穷小，只需证明当某变量趋近于某一值时，这两者的比值趋近于零即可。通过极限的推导和洛必达法则的应用，我们可以逐步推导出证明。
引理二：如果有两个函数满足一定的条件，那么这两个函数之间存在一定的关系。
证明：我们设定两个特定的函数，其中一个函数满足引理一的条件。通过将这个函数代入引理一中的结论，我们可以推导出引理二的证明。
接下来，我们利用这两个引理来证明泰勒公式的正确性。
设待展开的函数为某一具体形式。我们考虑一个多项式，希望它与待展开的函数满足引理二中的关系。通过对待展开函数求导并调整多项式的各项系数，我们可以使这个多项式与原函数在特定条件下满足引理二的要求。
这样，我们得到了一个等式。通过这个等式，我们可以得出一些结论，使得待展开的函数与这个多项式在特定情况下满足泰勒公式的形式。这就证明了对于这个函数，其n阶泰勒公式是成立的，并带有皮亚诺余项。