君子有三乐，其中之一是父母健在，兄弟和睦。再一种快乐是抬头无愧于天，低头无愧于人。最后一种快乐是得到天下英才而教育之。
——摘自《孟子》
近日，在头条上遇到一道有趣的填空题，题目如下：若a+7a+2是完全平方数，则整数a的值是多少？
面对这个问题，脑海中浮现出一个重要的定理。关于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a≠0，a、b、c均为整数）有两个整数解的条件，可以简洁地表述为：当b-4ac为整数m时，且b、c都能被a整除，方程就有两个整数解。
假设题目中的完全平方数为n。根据题意，我们可以得到等式a+7a+2=n。通过移项和代入定理，我们可以得到一系列的计算步骤。
在这个过程中，我们可以使用数形结合的思想来解决问题。连续奇数之和是完全平方数，那么如何用几何方式呈现呢？以一个简单的例子来说明，汉字“口”可以看作是一个边长为1的正方形，“田”可以看作是一个边长为2的正方形，九宫格则可以看作是一个边长为3的正方形。九宫格完美地诠释了等式1+3+5=3。
通过这个例子，我们可以将问题转化为求解连续奇数之和的问题。具体到我们的题目，就是求解(2n+1)的问题。在这个过程中，我们可以发现一个有趣的模式：4n代表田字形，4n+1代表曲尺形，(2n+1)代表九宫格。根据这个模式，我们可以求出n和m的值。
接下来，我们用这个定理来解方程。我们对x+7x-98进行因式分解。根据因式分解法，我们知道a+b=7，ab=-98。通过分解质因数，我们可以找到满足条件的整数对a和b。将这些整数代入方程，我们就可以解出方程的解。
我们来简单证明一下这个定理。设方程的两个根为x₁和x₂，根据韦达定理，我们知道x₁+x₂和x₁-x₂都是整数。如果我们假设整数b能被整数a整除，那么我们就可以证明这个定理的充分性。同样地，如果我们假设x₁和x₂都是整数，我们也可以证明这个定理的必要性。
特别地，对于这道题目，我们可以通过配方法将原式转化为一个更容易解决的形式。然后我们可以利用因式分解法来求解a的值。最后我们会得到两个整数解，都符合题目的要求。这个定理不仅对学生解题有帮助，也可以用来出题考验学生。希望同学们能够熟练掌握因式分解法。感谢阅读本文，再见。
