在初中阶段，我们已习了一元一次方程和一元二次方程的解法。面对高次方程，我们似乎感到束手无策。进入高中，学习了导数之后，我们经常需要解决三次方程的求解问题，了解高次方程的特殊解法——试根法，显得尤为重要。
一、因式定理初探
对于多项式，如果存在因式，那么该多项式必定含有对应的根。反之，如果多项式可以被因式分解，那么它的根便与因式息息相关。
以简单的例子来说，6的因数有2和3。同样地，对于二次方程，无论使用十字相乘法还是求根公式，我们都能轻易找到其两个解。这些解可以根据初中学过的交点式表示为因式的形式，例如x-2和x+3。
对于更一般的情况，如果一个方程可以因式分解为多个线性因式的乘积，那么这些因式的系数就是该方程的根。
二、求根公式的局限性
虽然一元三次方程有求根公式，但公式极其复杂，难以手算，仅适用于计算机计算。伽罗瓦理论更是证明了一元五次方程及以上不存在通用的求根公式。对于高中生来说，求根公式在求解高次方程方面的作用有限。试根法成为我们的救命稻草。
三、代数学基本定理
代数学基本定理告诉我们，任何复系数一元n次多项式方程在复数域内至少有一个根。换句话说，几次方程就有几个根（计数重根）。虽然这些根可能是复数，但对我们初升高的学生而言，暂时无需考虑这个问题。
四、试根法与长除法的应用
回到因式定理，只要找到方程的根，就可以写出对应的因式。那么如何找到这些根呢？这就是试根法的魅力所在。
以某个方程为例，我们可能自然地发现x=1是它的一个根。于是，x-1成为一个因式。对于三次方程，根据代数学基本定理，它应该还有两个根（计数重根）。我们可以借鉴小学时的除法思想，继续寻找其他因式。通过这种方式，我们可以得到更多的根。
在这个例子中，除了x=1的根之外，我们还找到了x=-2的根。这表明试根法是解决高次方程的一种有效方法。
希望读者在阅读本文后能够有所收获。
