这是2022年高考数学理科全国甲卷的填空压轴题，是一道富有创新性的解三角形与求导相结合的问题。在日常的解三角形题目中，我们很少遇到需要求导的情况，反之求导问题多数与函数的单调性有关，而与解三角形相结合的情形较为罕见。这道题目巧妙地将两者结合在一起，给我们带来了全新的挑战。
在△ABC中，点D位于边BC上，∠ADB=120，AD=2，CD=2BD。我们需要找到当AC/AB取得最小值时，BD的值。
分析过程如下：
我们需要通过绘制草图来理解题意。虽然这个图形看似简单，但往往简单的图形更容易让人无从下手。经过多次尝试，我们找到了解决问题的突破口。
我们需要两次运用余弦定理来表示三角形ABC的两条边的平方。对于AC^2，我们有：AC^2=CD^2+AD^2-2CDADcos60=4BD^2-4BD+4。对于AB^2，我们有：AB^2=BD^2+AD^2-2BDADcos120=BD^2+2BD+4。
接下来，我们需要将AC/AB转换成关于BD的函数，并引入求导的部分。我们得到AC^2/AB^2=4(BD^2-BD+1)/(BD^2+2BD+4)，要使AC/AB最小，只需求AC^2/AB^2的最小值对应的BD即可。
为了方便大家理解，我们将上述函数简化为f(x)=(x^2-x+1)/(x^2+2x+4)，其中f(x)=AC^2/AB^2，x=BD。接下来，我们可以利用求导的方法找到最小值点。
计算得到f’(x)=3(x^2+2x-2)/(x^2+2x+4)^2，我们发现f(x)有两个极值点。对于这道填空题，我们不需要具体求出两个极值并比较大小，而是可以根据极值点的符号性质进行判断。由于其中一个极值点为负数，而BD为正数，因此我们可以排除这个极值点，剩下的一个极值点即为最小值点，对应的BD值为根号3-1。
当AC/AB取得最小值时，BD的值为根号3-1。这道题目虽然对大多数人来说具有一定的挑战性，但其创新性令人印象深刻。高考数学应该多出一些这样的题目，以培养学生的创新思维和解决问题的能力。
