初等函数是指那些可以通过有限次的加法、减法、乘法和除法运算来表示的函数。这些函数通常包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数以及它们的组合。初等函数的行列式是它们在特定区间内的值的代数余子式之和。
1. 多项式函数：
– 线性函数 $f(x) = ax + b$（其中 $a$ 和 $b$ 是常数）
– 二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$（其中 $a$, $b$, 和 $c$ 是常数）
– 三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（其中 $a$, $b$, $c$, 和 $d$ 是常数）
– 四次及以上的多项式函数，其行列式会随着项数的增加而变得复杂。
2. 指数函数：
– 正指数函数 $f(x) = e^x$（其中 $e$ 是自然对数的底数）
– 负指数函数 $f(x) = frac{1}{e^x}$（其中 $e$ 是自然对数的底数）
3. 对数函数：
– 自然对数函数 $f(x) = ln x$（其中 $ln$ 是自然对数）
– 常用对数函数 $f(x) = log_b x$（其中 $b$ 是底数，$log$ 是常用对数）
4. 三角函数：
– 正弦函数 $f(x) = sin x$
– 余弦函数 $f(x) = cos x$
– 正切函数 $f(x) = tan x$
– 反三角函数，如反正弦函数 $f(x) = arcsin x$，反正切函数 $f(x) = arctan x$，等等。
5. 组合函数：
– 分段线性函数 $f(x) = begin{cases} ax & text{if } x m end{cases}$（其中 $k$ 和 $m$ 是区间的端点）
– 分段多项式函数 $f(x) = begin{cases} ax^2 + bx & text{if } x m end{cases}$（其中 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, 和 $f$ 是常数）
– 分段指数函数 $f(x) = begin{cases} e^x & text{if } x m end