要快速计算三阶矩阵的$A^2$，我们可以使用矩阵乘法的性质和一些技巧来简化计算。这里我们假设矩阵$A$是一个$3 times 3$的方阵，即$A = begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{pmatrix}$。
步骤1: 计算$AA$
我们需要计算$AA$，即矩阵$A$与其自身的乘积。这个操作可以通过将矩阵$A$的每一行与自己相乘来实现：
$$AA = begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{pmatrix} begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{pmatrix} = begin{pmatrix} a^2 + b^2 + c^2 \ ad + be + cf \ ag + he + ig end{pmatrix}$$
步骤2: 计算$A^2$
接下来，我们需要计算$A^2$，即矩阵$A$的平方。由于矩阵乘法是可交换的（即$AB = BA$），我们可以将上述结果与$A$相乘：
$$A^2 = AAA = begin{pmatrix} a^2 + b^2 + c^2 \ ad + be + cf \ ag + he + ig end{pmatrix} begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{pmatrix}$$
步骤3: 简化计算
为了简化计算，我们可以利用矩阵乘法的一些性质。例如，如果$A$是一个上三角矩阵（即主对角线以下的元素都是0），那么$AA$就是一个下三角矩阵，其对角线元素为$a^2, ad + be, ag + he$。$A^2$可以进一步简化为：
$$A^2 = begin{pmatrix} a^2 + b^2 + c^2 \ ad + be + cf \ ag + he + ig end{pmatrix} begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i end{pmatrix}$$
通过上述步骤，我们得到了三阶矩阵$A$的平方$A^2$的表达式。这个表达式可以帮助我们快速计算任何三阶矩阵的平方，而不需要直接计算$AA$或$A^2A$。这种方法特别适用于处理对称矩阵，因为对称矩阵的平方仍然是对称的。
