欧拉函数$phi(n)$是小于或等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目。对于任意正整数$n$，欧拉函数可以表示为：
$$phi(n) = frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} leftlfloor frac{k}{n} rightrfloor$$
其中$leftlfloor x rightrfloor$表示不超过$x$的最大整数。
要计算$phi(720)$，我们可以使用上述公式，并逐步进行计算。
我们注意到720是一个偶数，这意味着$phi(720)$将包含从1到720的所有奇数的个数。
接下来，我们将720除以2得到360，因为每个奇数都可以被2整除一次。然后，我们将360除以2得到180，因为每个奇数都可以被2整除两次。继续这个过程，直到我们得到1。
现在，我们需要计算$phi(1)$的值。由于1是一个素数，它没有除了1以外的其他因数，所以$phi(1) = 1$。
我们将所有得到的值相加：
$$phi(720) = frac{1}{720} left[ 1 + 2 + 3 + ldots + 719 right]$$
这是一个等差数列求和的问题，其首项$a_1 = 1$，末项$a_n = 719$，公差$d = 2$。
等差数列求和公式为：
$$S_n = frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$
代入我们的数值，我们得到：
$$phi(720) = frac{720}{2} left( 1 + 719 right)$$
$$phi(720) = 360 times 720$$
$$phi(720) = 259200$$
$phi(720) = 259200$。
