要探索$sint^2$和$sin^2t$的原函数奥秘，我们首先需要了解这些函数的积分形式。
对于$sint^2$，我们可以使用三角恒等式将其转换为一个更熟悉的形式：
$$int sint^2 , dt = frac{1}{2} int (1 – csc^2 t) , dt$$
这里，$csc^2 t = frac{1}{cos^2 t}$，所以：
$$int sint^2 , dt = frac{1}{2} int (1 – frac{1}{cos^2 t}) , dt$$
$$= frac{1}{2} int left(1 – frac{1}{cos^2 t}right) , dt$$
$$= frac{1}{2} int 1 , dt – frac{1}{2} int frac{1}{cos^2 t} , dt$$
$$= frac{1}{2} t – frac{1}{2} int frac{1}{cos^2 t} , dt$$
现在我们来考虑$sin^2t$的积分。同样地，我们可以使用三角恒等式将其转换为一个更熟悉的形式：
$$int sin^2 t , dt = frac{1}{2} int (1 – cot^2 t) , dt$$
这里，$cot^2 t = frac{1}{sec^2 t}$，所以：
$$int sin^2 t , dt = frac{1}{2} int (1 – frac{1}{sec^2 t}) , dt$$
$$= frac{1}{2} int left(1 – frac{1}{sec^2 t}right) , dt$$
$$= frac{1}{2} int 1 , dt – frac{1}{2} int frac{1}{sec^2 t} , dt$$
$$= frac{1}{2} t – frac{1}{2} int frac{1}{sec^2 t} , dt$$
现在，我们有了两个积分的表达式：
$$int sint^2 , dt = frac{1}{2} t – frac{1}{2} int frac{1}{cos^2 t} , dt$$
$$int sin^2 t , dt = frac{1}{2} t – frac{1}{2} int frac{1}{sec^2 t} , dt$$
这两个积分都是基本的三角函数积分，可以通过基本积分公式求解。由于这些积分涉及到复杂的三角函数，通常需要借助数值方法或者特殊函数（如椭圆积分）来解决。在实际应用中，我们可能会使用计算软件来得到这些积分的结果。
