secx（正弦x的余割）函数的原函数可以通过多种方法推导出来，这里给出一种常用的方法：
1. 使用三角恒等式
我们知道三角函数的基本恒等式之一是：
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
将这个恒等式平方得到：
$$ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 $$
进一步展开得到：
$$ \left(\sin^2 x\right)^2 + \left(\cos^2 x\right)^2 = 1 $$
这意味着：
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = \frac{1}{2} $$
我们可以得到：
$$ \sec^2 x = 1 + \tan^2 x $$
2. 使用双曲函数的导数
双曲函数的导数定义为：
$$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $$
对$\sec x$求导得到：
$$ \sec x \cdot \frac{d}{dx}(\frac{1}{\cos x}) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) $$
由于$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) = -\frac{1}{\sin^2 x}$，我们可以将这个结果代入上面的恒等式中：
$$ \sec x \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = 1 – \tan^2 x $$
简化得到：
$$ \sec x = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin^2 x} $$
3. 使用泰勒级数展开
对于$\sec x$，我们可以使用泰勒级数展开来找到其原函数。我们知道$\sec x$在$x=0$处的泰勒级数为：
$$ \sec x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots $$
将这个级数乘以$\frac{1}{\cos x}$并除以$x$，我们可以得到：
$$ \frac{1}{\cos x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \ldots $$
$\sec x$的原函数可以表示为：
$$ \int \sec x \, dx = \int \left(1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \ldots \right) \, dx $$
这个积分可以通过逐项积分和合并同类项来求解。最终得到的结果是：
$$ \int \sec x \, dx = \ln | \sec x + \tan x | + C $$
其中$C$是积分常数。
通过上述方法，我们得到了$\sec x$的原函数：
$$ \sec x = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin^2 x} $$
或者更简洁地：
$$ \sec x = \ln | \sec x + \tan x | + C $$
这是$\sec x$的一个常见原函数表达式。
