求$cos^2 x$的原函数，即求$int cos^2 x , dx$。
我们知道$cos^2 x = frac{1 + cos(2x)}{2}$。
原函数可以表示为：
$$int cos^2 x , dx = int frac{1 + cos(2x)}{2} , dx$$
这个积分可以通过部分分式分解来解决。我们设：
$$frac{1 + cos(2x)}{2} = frac{A}{2} + frac{cos(2x)}{2}$$
接下来，我们需要解出$frac{cos(2x)}{2}$和$frac{A}{2}$。为此，我们可以将上式乘以2：
$$1 + cos(2x) = A + frac{cos(2x)}{2}$$
然后，我们将等式两边的系数设置为相等：
$$1 = A + frac{cos(2x)}{2}$$
从这个等式中，我们可以解出$A$：
$$A = 1 – frac{cos(2x)}{2}$$
现在，我们可以将$A$的表达式代入到$frac{cos(2x)}{2}$中：
$$frac{cos(2x)}{2} = frac{1 – frac{cos(2x)}{2}}{1 + frac{cos(2x)}{2}}$$
简化得到：
$$frac{cos(2x)}{2} = frac{1 – 1}{1 + 1} = frac{0}{2} = 0$$
我们有：
$$frac{cos(2x)}{2} = 0$$
这意味着$cos(2x)$是常数，所以$cos(2x)$是一个奇函数。$cos^2 x$也是一个奇函数。
现在我们可以将$cos^2 x$的原函数表示为：
$$int cos^2 x , dx = left[ frac{1}{2} sin(2x) right] + C$$
其中$C$是积分常数。
$cos^2 x$的原函数是：
$$int cos^2 x , dx = frac{1}{2} sin(2x) + C$$
