
初识积分的魅力
现实世界中,物质的形态千变万化,远非学校中规则形状所能涵盖。掌握一种能够计算复杂图形面积或体积的技术,对人类而言至关重要。这种技术,便是积分法。
提及积分,不妨以日本小学中的家政课为例。在课程中,孩子们会学习制作简易料理,如乌冬面、土豆块等。掌握了这些基础烹饪方法后,便能举一反三,拓展出更多复杂的菜品。乌冬面的烹饪方法可应用于面包、比萨或意大利面;土豆块的学习则可延伸到土豆沙拉或油炸饼。
同理,如果将小学初学阶段的长方形、圆形的知识比作基础的乌冬面和土豆块,那么微积分则是更为高级的面包、沙拉等应用料理。积分的出现,使得计算各种图形的面积和体积成为可能。无论多么奇特的形状,只要有足够的耐心和技巧,都能计算出其面积或体积,这无疑是人类思维的巨大飞跃。
积分的真正乐趣在于,将理论知识应用于实际,用自己的力量去推导面积、体积的计算方法。
所有图形都与长方形有共通之处
掌握长方形面积的计算方法,是理解更复杂图形面积计算的基础。三角形的面积可以通过长方形来推导;平行四边形的面积可以看作是两个以边为底边的三角形的组合;梯形的面积则可以看作是长方形面积的一半。这些看似不同的图形,其面积计算公式却都以长方形为基础。
除了上述图形,还有一种更特殊的图形——圆形。求圆的面积时,我们可以采用一种近似的方法:用正方形来划分圆的内部空间。在方格纸上,数出圆中方格的个数,再用这些方格的面积来近似表示圆的面积。虽然这种方法不够精确,但却能让小学生更容易理解圆周率的含义。通过不断细分方格或放大圆的大小,我们可以发现,圆内方格面积的和会逐渐接近真实的圆面积,这就是积分的思想。
近似的方法在数学中非常有用。通过不断精细化锯齿状的图形,我们可以使其逐渐接近真实的平滑图形。电视、电脑的液晶显示器就是利用这个原理来显示画面的。实际上,它们显示的画面都是锯齿状的,但由于锯齿的精细度非常高,所以我们看到的就是平滑的线。同样地,圆形也可以看作是由无数精细小方格组成的锯齿状图形,即圆形是锯齿状图形的“极限”。
现在我们来谈谈积分的符号和公式。为了更优雅地表达积分思想,我们使用积分符号∫。积分原本就是“和”的意思,因此积分符号是取自拉丁语中“和”的单词Summa的首字母S并纵向拉长。在具体计算中,我们会用到和d这两个符号,都源于“差”。表示近似值,而d表示精确值。在积分过程中,我们将宽度x逐渐缩小到极限值dx,从而得到精确的计算结果。
《简单微积分:学校未教过的超简易入门技巧》这本书以生动的语言,通俗地讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义。书中以微积分的思考方法为核心,通过生活例子引导读者理解微积分的基本原理和公式推导过程。对于微积分初学者来说是一本轻松入门的好书。
