已知条件为 12a + 31b = √15，我们需要求出 ab 的最大值。以下是几种不同的思路和方法：
思路一：直接代入法
根据已知条件，我们可以将 b 代入表达式得到关于 a 的函数，然后根据二次函数的性质来确定 ab 的取值范围。通过代入计算，我们可以得到 ab 的表达式，进而通过求导等方法找出最大值。最终我们可以得出，当 a = √15/24 时，ab 达到最大值 5/496。
思路二：判别式法
假设 ab = p，将 b 代入得到关于 a 的表达式。代入已知条件得到关于 a 的二次方程，然后通过判别式的方法确定 ab 的取值范围。我们发现当判别式大于等于 0 时，p（即 ab）取得最大值，最大值为 5/496。
思路三：三角换元法
我们将 a 和 b 表示为三角函数的形式，通过三角换元的方法求解 ab 的最大值。设定合适的换元条件，然后代入求解。我们发现当 sin2t = 1 时，ab 达到最大值 5/496。
思路四：中值代换法
我们设定新的变量 t 来代替 a 和 b 的一部分，然后代入求解。通过这种方式，我们可以得到一个关于 t 的二次函数，进而找到 ab 的最大值。当 t = 0 时，ab 取得最大值 5/496。
思路五：不等式法
利用不等式性质，我们知道 a 和 b 的和大于等于其乘积的两倍根号下的值。通过这一性质，我们可以得到一个关于 ab 的不等式，进而求出 ab 的最大值。最终我们发现 ab 的最大值为 5/496。
本文主要介绍了如何通过直接代入法、判别式法、三角换元法、中值代换法和不等式法等方法来计算在给定条件下 ab 的最大值。这些方法各有特点，但最终都得出 ab 的最大值为 5/496。
