反函数可以理解为，通过给定的函数y=f（x），求得其反函数形式x=f（y）。比如对于函数y=x^2，其反函数表现为x=√y和x=-√y，也可以理解为y=√x和y=-√x。它们之间有着镜像般的关系。如果需要更详细的定义，建议搜索相关资料了解。
从图中的展示可以看出S1等于S2。
那么，祖暅计算球体积与反函数之间有什么关系呢？
如果我们考虑函数y=πx^2，并对其进行积分，其原函数表现为圆锥体y=1/3πx^3+C。对于反函数y=√(x/π)，在特定区间上的积分，其原函数可以表达为2/3x^(3/2)/√π+C。若在【0-π】区间内考虑，这实际上代表了圆柱体去掉内部圆锥后的部分，这正是球体积的一部分。这部分体积的理解可能较为抽象。
换个角度来看，对于y=πx^2在[0-1]的积分区域为S1，而y=√(x/π)在[0-π]的积分区域为S2。假设一个圆柱体的半径和高都是R=1，对这个圆柱体的积分区域就是红色线与xy轴围成的部分，其面积等于πR^3，也就是S1和S2的和。进一步计算可以得到S2=πR^3 – S1=2/3 πR^3。
关于球体体积的原理，如果球体被如此切割，其每个截面的半径r可以表达为√(k^2-x^2)。截面积则为πk^2 – πx^2，即圆环的面积。对球体进行积分操作，其体积表达式为πk^2x- （1/3）πx^3。假设x=k时，半个球的体积就是（2/3）πk^3。将结果乘以二，就得到了整个球的体积表达式（4/3）πk^3。
