实数完备性的六大基本定理是等价的，这些定理在《老黄学高数》系列中都有所介绍。这些定理包括确定原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理以及柯西收敛准则。目前，我们已经完成了部分定理之间的证明工作。
在《老黄学高数》的第73讲中，老黄使用确界原理证明了单调有界定理。而在第213讲中，他又用单调有界定理推导出区间套定理。之后，老黄在第218讲中用区间套定理证明了聚点定理，虽然这个过程稍有跳跃，但在第221讲中，他成功地用区间套定理证明了有限覆盖定理。至于柯西收敛准则，老黄在第219讲中用聚点定理的推论进行了证明。而在第215讲中，老黄再次用区间套定理证明了柯西收敛准则。
现在我们要深入理解数集的确界原理。当数集有界时，它必定有确界。这一原理可以通过柯西收敛准则进行证明。接下来，我们将用有限覆盖定理来证明聚点定理，从而完成六个基本定理的等价性证明。
我们再来详细探讨一下确界原理。对于非空的、有上界的数集S来说，根据实数的阿基米德性质，我们知道对于任意的正数a都存在一个整数ka使得a=kaa成为S的上界。a-a并不是S的上界，这意味着存在元素a’∈S使得a’大于a-a。如果我们分别取a=1/n（n为任意正整数），那么对于每一个n都存在相应的n使得n是S的上界。同时我们知道对于正整数m，m也是S的上界。因此存在一种关系使得m大于等于某个元素a’，并推出一系列的不等式关系，包括对于数列{n}的收敛性进行讨论。最终我们可以证明对于任何属于S的元素a和任意正整数n都有a小于等于某个极限值，即是S的上确界。同理我们也可以证明下确界的存在性。综合以上讨论我们可以得出“有界则必有确界”的确界原理。
数学的学习需要我们反复思考和深入探究每一个概念和原理的来龙去脉才能够真正理解掌握和运用自如面对困难和挫折我们也要坚持不懈积极面对。确实这个知识点相对较难理解但是只要好好思考仔细琢磨相信你一定能有所收获突破自我提升数学思维的边界加油！
