一、圆中的定值问题
1、在一个圆O中，AB和CD是两条直径，AB的长度为12且角度∠AOD为120。点P位于AD弧上（不与A、D重合），从P向AB和CD分别作垂线PE和PF，交点分别为E和F。连接EF。
（1）求∠EPF的度数。
解答：
（1）根据四边形的内角和性质，我们可以得出∠EPF的度数为60。
（2）延长PE、PF交圆于点M、N，连接OM、ON、MN。利用垂径定理，我们可以得出PE=EM，PF=FM。EF是△PMN的中位线，所以EF的长度为MN的一半。再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，我们可以得出∠MON的度数，进而求出MN的长度，最后得出EF的长度为3√3。
解答：连接AB。利用垂径定理，我们可以得出CD=DB，CE=EA。DE是△CAB的中位线，所以DE的长度为AB的一半。在直角三角形AOB中，我们可以求出AB的长度，进而得出DE的长度为√2。
二、圆中的最值问题
3、在△ABC中，∠A为45，∠B为75，AC的长度为6。点D位于AB上，以CD为直径作圆O，分别与AC、BC相交于点F和G。求线段FG的最小值。
解答：根据角度关系，我们可以得出∠ACB的度数为60。连接OF和OG。根据圆周角和圆心角的关系，我们可以得出∠GOF的度数为120。△GOF是一个顶角为120的等腰三角形。要使FG达到最小值，只需使OF达到最小值。当CD⊥AB时，CD达到最小值，此时FG的值达到最小，计算得出GF的最小值为3√6/2。
4、在△ABC中，∠ABC为90，BA和BC的长度已知，点D和E分别在BA和BC上运动，DE的长度也已知。以DE为直径作圆O，交AC于G和H两点。求线段GH的最大值。
解答：虽然圆的位置在变化，但其半径始终不变。要使GH达到最大值，只需使其弦心距（即圆心O到GH的距离）最小。由于AC的位置固定，因此确定圆心O的轨迹成为解决问题的关键。根据题目描述和直角三角形斜边上的中线性质，我们可以确定点O的轨迹并求出OF的最小值。然后利用Rt△OGF的性质求出GH的最大值，其为24/5。
