要快速数清重叠三角形的个数，我们可以利用几何图形的性质和一些巧妙的方法来简化问题。这里提供一个基于欧拉公式和三角形面积的解题方法。
解题步骤：
1. 理解三角形的面积：我们知道一个三角形的面积可以通过底乘以高除以2得到，即 ( A = frac{1}{2}bh )。
2. 应用欧拉公式：对于任意两个三角形 ( ABC ) 和 ( DEF )，其中 ( AB perp CD ) 且 ( AD perp BC )，根据欧拉公式，我们有：
[
A_{ABC} + A_{DEF} = A_{EFD} + A_{EDC}
]
其中 ( A_{ABC} ) 是 ( ABC ) 的面积，( A_{DEF} ) 是 ( DEF ) 的面积。
3. 计算三角形的面积：假设我们有一个三角形 ( ABC )，其面积为 ( A_{ABC} )。我们需要找到所有可能的三角形 ( DEF )，使得 ( AB perp CD ) 且 ( AD perp BC )。
4. 使用对称性：由于 ( AB perp CD ) 和 ( AD perp BC )，我们可以将 ( ABC ) 视为由两个等腰三角形组成，每个等腰三角形的顶点分别是 ( A, B, C ) 和 ( D, E, F )。这样，每个等腰三角形的面积可以表示为：
[
A_{DEF} = frac{1}{2} (BD cdot h_1 + CE cdot h_2)
]
其中 ( h_1 ) 和 ( h_2 ) 分别是三角形 ( DEF ) 的高。
5. 计算总的面积：因为每个等腰三角形的面积都是相同的，所以总的面积等于两个等腰三角形的面积之和：
[
A_{DEF} = 2 times A_{DEF}
]
因此：
[
A_{DEF} = 2 times frac{1}{2} (BD cdot h_1 + CE cdot h_2) = h_1 + h_2
]
[
n = h_1 + h_2 – A_{ABC}
]
通过这种方法，你可以快速地计算出重叠三角形的个数。这个方法不仅适用于简单的三角形，也适用于任何具有对称性的多边形。