向量平行
定义： 如果两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 满足以下条件：
1. $vec{a} cdot vec{b} = 0$
2. $vec{a} parallel vec{b}$
那么这两个向量是平行的。
公式表达：
$$vec{a} cdot vec{b} = 0$$
向量垂直
定义： 如果两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 满足以下条件：
1. $vec{a} cdot vec{b} = 0$
2. $vec{a} perp vec{b}$
那么这两个向量是垂直的。
公式表达：
$$vec{a} cdot vec{b} = 0$$
向量平行的推导
假设我们有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，并且我们知道它们的方向相同（即 $vec{a} parallel vec{b}$）。根据向量平行的定义，我们可以写出：
$$vec{a} cdot vec{b} = 0$$
这个等式表明，如果两个向量平行，那么它们的点积为零。这是因为当两个向量平行时，它们不仅方向相同，而且长度也相等，因此它们的点积为零。
向量垂直的推导
假设我们有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，并且我们知道它们的方向相反（即 $vec{a} perp vec{b}$）。根据向量垂直的定义，我们可以写出：
$$vec{a} cdot vec{b} = 0$$
这个等式表明，如果两个向量垂直，那么它们的点积为零。这是因为当两个向量垂直时，它们的方向完全相反，因此它们的点积为零。
通过上述推导，我们可以看到，向量平行和垂直的条件分别对应于向量点积为零和点积为零的情况。这些条件是解决涉及向量的问题的关键，例如在几何、物理学和工程学中。
