多元微积分概述
多元微积分，也称多变量微积分，是微积分学的一个分支，主要研究涉及多个变量的函数。与只涉及单一变量的一元微积分相比，多元微积分在求导和积分等运算中涉及至少两个变量。例如，在研究多元函数的微分时，会出现偏微分和全微分的概念；而在进行积分计算时，则会涉及到多重积分。
历史背景
多元函数的概念早在物理学现，因为物理量往往受到多个变量的影响。例如，物理学家托马斯·布拉德华曾尝试研究运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。这个概念在17世纪开始得到长足发展。詹姆斯·格雷果里在1667年给出了多元函数的一个早期定义。直到19世纪末和20世纪，人们才开始严格建立偏导数的计算法则。
多元函数定义
当存在一个非空的n元有序数组集合D和某一确定的对应规则f时，对于D中的每一个有序数组，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应。这个对应规则f被称为定义在D上的n元函数。当n=1时，为一元函数；当n=2时，为二元函数；而对于n>2的情况，统称为多元函数。
偏导数
偏导数是导数的概念在更高维度上的推广。在多变量函数中，偏导数相对于一个变量的导数，而所有其他变量被视为常数。偏导数可以组合创建更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子基于偏导数定义了梯度、散度和旋度等概念。含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵表示任意维空间之间的函数的导数。导数可以理解为从函数定义域到值域的逐点变化的线性映射。含有偏导数的微分方程称为偏微分方程，比只含一个变量的常微分方程更难解决。
重积分
重积分将积分的概念扩展到任意数量的变量。二重积分和三重积分用于计算平面和空间的面积和体积。富比尼定理提供了计算二重积分的方法。还有曲面积分和曲线积分应用于曲面和曲线等流形上的积分。
多元微积分的基本定理
在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分之间的联系。在多元微积分中，这种联系体现在矢量微积分的积分定理，包括梯度定理、斯托克斯定理、高斯散度定理以及格林公式等。这些定理在更深层次的研究中可以认为是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，适用于流形上的微分形式的积分。
多元微积分的价值
现实世界中的许多量的变化受到多种因素的影响。多参量模型更能现实和普遍地反映这种现象。多元函数是建立多参量模型的基础，而研究多元函数变化规律的理论就是多元微积分。多元微积分在现代科学和工程领域具有广泛的应用价值。
