三角形重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。在三角形ABC中，如果A、B、C的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），那么其重心坐标可以据此求得。我们来探讨一下这个定理在平面直角坐标系中的证明过程。
我们可以先找到BC的中点D，其坐标可以通过计算得到。接着，我们知道AO与DO的比例为2:1，由此可以计算出O点的坐标。
接下来我们来探讨另一个关于三角形的性质：当三角形内的点P为重心时，PA+PB+PC的值是最小的。为了证明这一点，我们可以使用高中解析几何中的两点间距离公式进行解析。设P点的坐标为（x，y），由距离公式可知PA、PB、PC的表达式。将这三个平方和相加，可以得到一个关于x和y的表达式。为了求这个表达式的最大值，我们需要找到这个表达式的最小值点，通过对x和y分别求最大值，可以看出这是一个朝上开口的抛物线，其最小值在对称轴上取得。当x和y取值为三角形重心坐标时，即x=1/3 (x₁+x₂+x₃)，y=1/3（y₁+y₂+y₃）时，PA+PB+PC的值是最小的。这就证明了当P点为三角形重心时，到三个顶点的距离平方和最小。
