三角函数作为高中数学的核心内容之一，常常成为学生学习的瓶颈，尤其是涉及到三角函数的综合问题时。本文将深入探讨一道1991年高考数学中的经典三角函数题目：如何求函数y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2的最小值，并明确指出使得函数y达到最小值的x的取值范围。
尽管这道题目的整体难度并不高，但不少学生在面对时却感到无从下手，而一些数学能力突出的学生则认为这题非常基础。接下来，我们将详细解析这道题目的解题步骤。
为了求解函数y的最小值，首先需要对其进行适当的变形，这一步骤是整个解题过程中的关键环节。
部分学生在观察函数y的表达式后，可能会首先采用以下的变形策略：
y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2
=(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2+2(cosx)^2
=(sinx+cosx)^2+2(cosx)^2。
虽然上述变形看似简化了原函数，但从这一步开始，进一步化简的难度显著增加，这也是许多学生无法完成这道题的主要原因。
在运用三角恒等变换对三角函数进行化简时，通常的解题策略是先通过降幂处理，然后将不同角的同名三角函数统一，最终将函数转化为y=Asin(ωx+φ)+B或者y=Acos(ωx+φ)+B的形式，之后再利用三角函数的性质来求解。
因此，解决本题需要熟练掌握两个重要的公式：
降幂公式：
2(cosx)^2=cos2x+1；
2(sinx)^2=1-cos2x。
辅助角公式：
asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a。
需要注意的是，降幂公式并非需要单独记忆，可以通过二倍角余弦公式进行逆向推导得出。
基于这一思路，本题的正确变形方法应为：
y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2
=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx+2(cosx)^2
=1+sin2x+cos2x+1
=sin2x+cos2x+2
=√2sin(2x+45°)+2。
经过上述化简后，为了找到y的最小值，只需确定sin(2x+45°)=-1的条件即可，此时y的最小值为2-√2。进一步解出2x+45°=360°k-90°，从而得到x的具体取值，并将其表示为集合形式。
这道高考试题主要考察学生对三角函数基本运算的掌握程度，只要掌握了正确的解题方法，计算结果并不是难题。
关于这道题目的探讨就到这里。