寻求函数 y=2/sinx + 32/cosx 的最小值解析
本文采用两种不同方法，通过应用基本不等式公式，来求解函数 y=2/sinx + 32/cosx 的最小值。
方法一：
给定函数 y=2/sinx + 32/cosx，我们通过三角函数变形得到：
y = 2(cscx)^2 + 32(secx)^2，
进一步化简为 y = 2[1+(ctg)^2] + 32[1+(tgx)^2]，
再进一步得到 y = 2 + 32 + 2(ctg)^2 + 32(tgx)^2。
根据基本不等式，我们有：
y ≥ 34 + 2√[232(ctg)^2(tgx)^2]。
计算得 y ≥ 50，等号成立的条件是：2(ctg)^2 = 32(tgx)^2，即 (tgx)^2 = 1/16。
方法二：
取一个正常数 k，对原函数进行变形：
y = [2/(sinx)^2 + k(sinx)^2] + [32/(cosx)^2 + k(cosx)^2] – k。
根据不等式性质，我们有：
y ≥ 2√[2k] + 2√[32k] – k = 2(√2 + √32)√k – k。
等号成立的条件为： 2/(sinx)^2 = k(sinx)^2 和 32/(cosx)^2 = k(cosx)^2，进一步得到 (sinx)^4 = 2/k 和 (cosx)^4 = 32/k。由此可得 (tgx)^2 = 1/16，以及 k = (√2 + √32)^2。
代入上述表达式，得到函数y的最小值为：ymin = 2(√2 + √32)√k – k = (√2 + √32)^2 = 50。
